Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

2. Análise de complexidade
Novamente, o último passo é o mais difícil de justificar. A mesma partição
que aplicamos acima leva a
d∈Dn
=
Pr[d](desemp[QS](dl) + desemp[QS](dr))
1≤i≤n d∈Di n
=
1≤i≤n
=
1≤i≤n
=
1≤i≤n
1
|D|
Pr[d](desemp[QS](dl) + desemp[QS](dr))
(desemp[QS](dl) + desemp[QS](dr))
d∈D i n
|D i n|
|D| (cm[QS](i − 1) + cm[QS](n − i))
Pr[X = i](cm[QS](i − 1) + cm[QS](n − i))
é o penúltimo passo é correto, porque a média do desempenho sobre as permutações
dl e dr é a mesma que sobre as permutações com i − 1 e n − i
elementos: toda permutação ocorre com a mesma probabilidade e o mesmo
número de vezes (Knuth [43, p. 119] tem mais detalhes).
Se denotamos o desempenho com Tn = cm[QS](n), obtemos a recorrência
Tn = n +
1≤i≤n
Pr[X = i] (Ti−1 + Tn−i)
com base Tn = 0 para n ≤ 1. A probabilidade de escolher o i-ésimo elemento
como pivô depende da estratégia da escolha. Vamos estudar dois casos.
1. Escolhe o primeiro elemento como pivô. Temos Pr[X = i] = 1/n. Como
Pr[X = i] não depende do i a equação acima vira
Tn = n − 1 + 2/n
0≤i