Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

2.3. Complexidade média
e o último passo é justificado, porque a partição de uma permutação aleatória
gera duas partições aleatórias independentes, e existe uma entrada d em que
as duas sub-partições assumem o máximo. Para determinar o máximo da
última expressão, podemos observar que ele deve ocorrer no índice i = 1 ou
i = ⌊n/2⌋ (porque a função f(i) = cp[QS](i − 1) + cp[QS](n − i) é simétrico
com eixo de simetria i = n/2).
Complexidade pessimista
• O máximo ocorre para i = 1 ou i = n/2
• Caso i = 1
cp[QS](n) = n + cp[QS](0) + cp[QS](n − 1) = n + cp[QS](n − 1)
= · · · =
(i − 1) = Θ(n 2 )
• Caso i = n/2
1≤i≤n
cp[QS](n) = n + 2cp[QS](n/2) = n − 1 + 2((n − 1)/2 + cp(n/4))
= · · · = Θ(n log 2 n)
• Logo, no pior caso, Quicksort precisa Θ(n 2 ) comparações.
• No caso bem balanceado: Θ(n log 2 n) comparações.
Complexidade média
• Seja X a variável aleatória que denota a posição (inglês: rank) do pivô
am na sequência.
• Vamos supor que todos elementos ai são diferentes (e, sem perda da
generalidade, uma permutação de [1, n]).
cm[QS](n) =
d∈Dn
=
d∈Dn
= n +
Pr[d] desemp[QS](d)
Pr[d](desemp[P ](d) + desemp[QS](dl) + desemp[QS](dr))
d∈Dn
= n +
1≤i≤n
Pr[d](desemp[QS](dl) + desemp[QS](dr))
Pr[X = i](cm[QS](i − 1) + cm[QS](n − i))
57