Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar
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2. Análise de complexidade • Freqüentemente o número de inversões facilita a análise de algoritmos de ordenação. • Em particular para algoritmos com transposições de elementos adjacentes: #Transposições = # Inversões Número médio de transposições • Considere o conjunto de todas permutações Sn sobre [1, n]. • Denota-se por inv(π) o número de inversões de uma permutação. • Para cada permutação π existe uma permutação π − correspondente com ordem inversa: 35124; 42153 • Cada inversão em π não é inversão em π − e vice versa: Número médio de transposições inv(π) + inv(π − ) = n(n − 1)/2. • O número médio de inversões é 1/n! inv(π) = 1/(2n!) inv(π) + inv(π) π∈Sn π∈Sn π∈Sn = 1/(2n!) inv(π) + inv(π − ) π∈Sn π∈Sn = 1/(2n!) n(n − 1)/2 = n(n − 1)/4 π∈Sn • Logo, a complexidade média (de transposições) é Θ(n 2 ). Exemplo 2.16 (Máximo) (Continuando exemplo 2.8.) Queremos analisar o número médio de atribuições no cálculo do máximo, i.e. o número de atualizações do máximo. 52 ♦
Máximo 2.3. Complexidade média • Qual o número esperado de atualizações no algoritmo Máximo? • Para uma permutação π considere a tabela de inversões b1, . . . , bn. • bi é o número de elementos na esquerda de i que são maiores que i. • Exemplo: Para 53142 b1 b2 b3 b4 b5 2 3 1 1 0 • Os bi obedecem 0 ≤ bi ≤ n − i. Tabelas de inversões • Observação: Cada tabela de inversões corresponde a uma permutação e vice versa. • Exemplo: A permutação correspondente com b1 b2 b3 b4 b5 3 1 2 1 0 • Vantagem para a análise: Podemos escolher os bi independentemente. • Observação, na busca do máximo i é máximo local se todos números no seu esquerdo são menores, i.e. se todos números que são maiores são no seu direito, i.e. se bi = 0. Número esperado de atualizações • Seja Xi a variável aleatória Xi = [i é máximo local]. • Temos Pr[Xi = 1] = Pr[bi = 0] = 1/(n − i + 1). • O número de máximos locais é X = 1≤i≤n Xi. • Portanto, o número esperado de máximos locais é E[X] = E = E[Xi] = 1≤i≤n 1≤i≤n Xi 1≤i≤n Pr[Xi] = 1≤i≤n 1 1 = n − i + 1 i 1≤i≤n = Hn • Contando atualizações: tem uma a menos que os máximos locais Hn −1. 53
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Máximo<br />
2.3. Complexida<strong>de</strong> média<br />
• Qual o número esperado <strong>de</strong> atualizações no algoritmo Máximo?<br />
• Para uma permutação π consi<strong>de</strong>re a tabela <strong>de</strong> inversões b1, . . . , bn.<br />
• bi é o número <strong>de</strong> elementos na esquerda <strong>de</strong> i que são maiores que i.<br />
• Exemplo: Para 53142 b1 b2 b3 b4 b5<br />
2 3 1 1 0<br />
• Os bi obe<strong>de</strong>cem 0 ≤ bi ≤ n − i.<br />
Tabelas <strong>de</strong> inversões<br />
• Observação: Cada tabela <strong>de</strong> inversões correspon<strong>de</strong> a uma permutação e<br />
vice versa.<br />
• Exemplo: A permutação correspon<strong>de</strong>nte com b1 b2 b3 b4 b5<br />
3 1 2 1 0<br />
• Vantagem para a análise: Po<strong>de</strong>mos escolher os bi in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntemente.<br />
• Observação, na busca do máximo i é máximo local se todos números no<br />
seu esquerdo são menores, i.e. se todos números que são maiores são no<br />
seu direito, i.e. se bi = 0.<br />
Número esperado <strong>de</strong> atualizações<br />
• Seja Xi a variável aleatória Xi = [i é máximo local].<br />
• Temos Pr[Xi = 1] = Pr[bi = 0] = 1/(n − i + 1).<br />
• O número <strong>de</strong> máximos locais é X = <br />
1≤i≤n Xi.<br />
• Portanto, o número esperado <strong>de</strong> máximos locais é<br />
<br />
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E[X] = E<br />
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= <br />
E[Xi]<br />
= <br />
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Xi<br />
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Pr[Xi] = <br />
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1 1<br />
=<br />
n − i + 1 i<br />
1≤i≤n<br />
= Hn<br />
• Contando atualizações: tem uma a menos que os máximos locais Hn −1.<br />
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