Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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2. Análise de complexidade A complexidade média calcula-se como cp[A](n) = E[desemp[A]] = E[2p + 1] = 2E[p] + 1 E[p] = Pr[p = i]i = 2 −n n + 2 −n n i≥0 1≤i≤n = 2 −n n + 2 − 2 −n (n + 2) = 2 − 2 1−n cp[A](n) = 5 − 2 2−n = O(1) (A.39) A seguinte tabela mostra os custos médios para 1 ≤ n ≤ 9 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cm 3 4 4.5 4.75 4.875 4.938 4.969 4.984 4.992 Exemplo 2.14 (Ordenação por inserção direta) (Continuando exemplo 2.7.) Ordenação por inserção direta • Qual o número médio de comparações? • Observação: Com as entradas distribuídas uniformemente, a posição da chave i na sequência já ordenada também é. • Logo chave i precisa comparações em média. 1≤j≤i j/i = (i + 1)/2 • Logo o número esperado de comparações é 2≤i≤n (i + 1)/2 = 1/2 3≤i≤n+1 i = 1/2 ((n + 1)(n + 2)/2 − 3) = Θ(n 2 ) Exemplo 2.15 (Bubblesort) (Continuando exemplo 2.6.) O número de comparações do Bubblesort é independente da entrada. Logo, com essa operação básica temos uma complexidade pessimista e média de Θ(n 2 ). 50 ♦ ♦
Bubblesort: Transposições Quantidade • Qual o número de transposições em média? 2.5x10 4 2.0x10 4 1.5x10 4 1.0x10 4 5.0x10 3 Distribuição das transposições no Bubblesort para n=9 0 5 10 15 20 25 30 35 Número de transposições 2.3. Complexidade média Qual a complexidade contando o número de transposições? A figura acima mostra no exemplo das instâncias com tamanho 9, que o trabalho varia entre 0 transposições (sequência ordenada) e 36 transposições (pior caso) e na maioria dos casos, precisamos 18 transposições. A análise no caso em que todas entradas são permutações de [1, n] distribuídas uniformemente resulta em n/4(n − 1) transposições em média, a metade do pior caso. Inversões • Uma inversão em uma permutação é um par que não está ordenado, i.e. • Exemplos i < j tal que ai > aj. Permutação #Inversões 123 0 132 1 213 1 231 2 312 2 321 3 51
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Recorrências simplificadas Formalm
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