Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Exemplo 2.12 (Busca seqüencial)
(Continuando exemplo 2.9.)
Busca seqüencial
2.3. Complexidade média
• Caso a chave esteja na i-ésima posição, temos que fazer i iterações.
• Caso a chave não ocorra no conjunto, temos que fazer n iterações.
• Supondo uma distribuição uniforme da posição da chave na sequência,
temos
cn[BS](n) = 1
n + i
n + 1
1≤i≤n
iterações e uma complexidade média de Θ(n).
Exemplo 2.13
(Continuando o exemplo 2.1.)
Neste exemplo vamos analisar o algoritmo considerando que a ocorrência dos
números siga uma outra distribuição que não a uniforme. Ainda, considere o
caso em que não há números repetidos no conjunto. Seja n um tamanho fixo.
Para Busca1 temos o espaço amostral Dn = {(a1, . . . , an) | a1 ≥ 1, . . . , an ≥
1}. Supomos que os números sigam uma distribuição na qual cada elemento da
sequência é gerado independentemente com a probabilidade Pr[ai = n] = 2−n (que é possível porque
1≤i 2−i = 1).
Com isso temos
Pr[(a1, . . . , an)] =
2 −ai
1≤i≤n
e, Pr[ai = 1] = 1/2 e Pr[ai = 1] = 1/2.
desemp[A] e
Considere as variáveis aleatórias
p(d) =
µ
n
se o primeiro 1 em d está na posição µ
caso contrário
Temos desemp[A] = 2p + 1 (veja os resultados do exemplo 2.1). Para i estar
na primeira posição com elemento 1 as posições 1, . . . , i−1 devem ser diferente
de 1, e ai deve ser 1. Logo para 1 ≤ i < n
Pr[p = i] = Pr[a1 = 1] · · · Pr[ai−1 = 1] Pr[ai = 1] = 2 −i .
O caso p = n tem duas causas: ou a posição do primeiro 1 é n ou a sequência
não contém 1. Ambas têm probabilidade 2 −n e logo Pr[p = n] = 2 1−n .
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