Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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B. Soluções dos exercícios Analisando com a árvore de recorrência, obtemos 7 i problemas em cada nível, cada um com tamanho n/2 i e custo c(n/2 i ) 2 = cn 2 /4 i e altura h = ⌈log 2 n⌉ (com h + 1 níveis) que leva a soma T (n) ≤ 0≤i≤h cn 2 (7/4) i + 7 h+1 = (4/3)cn 2 ((7/4) h+1 − 1) + 7 h+1 ≤ (7c/3 + 1)7 h − (4/3)cn 2 ≤ (49c/3 + 1)n log 2 7 = O(n log 2 7 ). com 4 h+1 ≥ 4n 2 com 7 h ≤ 7 7 log 2 n Para aplicar o método de substituição, podemos estimar T (n) ≤ an c − bn 2 com c = log 2 7 que resulta em T (n) = 7T (n/2) + dn 2 ≤ 7a/2 c n c − 7b/4n 2 + dn 2 = an c − bn 2 + (d − 3b/4)n 2 que é satisfeito para d − 3/4 ≤ 0 ⇔ b ≥ (4/3)d. Para aplicar o método Master, é suficiente de verificar que com Θ(n 2 ) = O(n log 2 7 − ɛ) se aplica o caso 1, e portanto a complexidade é Θ(n log 2 7 ). Solução do exercício 6.4. O algoritmo obedece a recorrência T (n) = T (n/5) + T (7n/10 + 6) + O(n) (sem considerar o teto). Na aplicação da árvore de recorrência, enfrentamos dois problemas: (i) Os ramos tem comprimento diferente, porque os subproblemas tem tamanho diferente (portanto o método Master não se aplica nesse caso). (ii) O tamanho 7n/10+6 do segundo subproblema leva a somas difíceis. Por isso, vamos estimar o custo da árvore da seguinte forma: (i) Temos que garantir, que o segundo subproblema sempre é menor: 7n/10 + 6 < n. Isso é satisfeito para n > 20. (ii) Vamos substituir o sub-problema 7n/10 + 6 com a cota superior (7 + ɛ)n/10 para um ɛ > 0 pequeno. Isso é satisfeito para n ≥ 60/ɛ. (iii) Sejam c1 := 1/5, c2 := (7 + ɛ)/10 e c := c1 + c2. Então a árvore tem custo c i n no nível i e no ramo mais longo (que corresponde a c2) uma altura de h = log c2 20/n . Portanto, obtemos uma cota superior para o 318
custo da árvore T (n) ≤ n 0≤i≤h ≤ n 0≤i 20 F (n) ≤ O(1) se n ≤ 20 F (n) ≤ cn pode ser verificado com substituição (resolvido no livro do Cormen). O método Master não se aplica nesta recorrência. 319
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5. Programação dinâmica 5.2.2. S
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5. Programação dinâmica (começa
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5. Programação dinâmica Árvore
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Recorrências simplificadas Formalm
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• Prove por indução que T (n) =
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Saída A potência a n . 1 i f n =
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V ′ = V ∪ {s ∗ , t ∗ } 9.1.
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s 30 19 12 i 10 10 j 10 10 10 1010
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Solução Um fluxo s-t f com valor
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Objetivo Minimiza o valor c(M) de M
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10. Algoritmos de aproximação (As
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Parte IV. Teoria de complexidade 23
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12. Classes de complexidade 12.1. D
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12.3. Exercícios 12.3. Exercícios
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