Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

B. Soluções dos exercícios
9 return true
10 end i f
11 end i f
12 end for
13 return f a l s e
e tem complexidade O(n). A corretude resulta de observação que para cada
subsequência possível temos outra subsequência que escolhe o elemento mais
esquerda em S. Portanto, podemos sempre escolher gulosamente o primeiro
elemento da sequência maior.
Solução do exercício 4.2.
O seguinte algoritmo resolve o problema:
Algoritmo B.2 (Bases)
Entrada Uma sequência de posições xi de n cidades, 1 ≤ i ≤ n.
Saída Uma sequência mínima de posições bi de bases.
1 Sejam S = x ′ 1 . . . x ′ n as p o s i ç õ e s em ordem c r e s c e n t e
2 B = ɛ
3 while S ɛ do
4 Seja S = x ′ S ′
5 B := B, (x ′ + 4) { aumenta a sequência B }
6 Remove todos os elementos x ≤ x ′ + 8 de S
7 end while
O algoritmo tem complexidade O(n) porque o laço tem ao máximo n iterações.
Prova de corretude: Seja bi as posições do algoritmo guloso acima, e b ′ i as
posições de alguma outra solução. Afirmação: bi ≥ b ′ i . Portanto, a solução
gulosa não contém mais bases que alguma outra solução. Prova da afirmação
com indução: A base b1 ≥ b ′ 1 é correto porque toda solução tem que alimentar
a primeira casa e o algoritmo guloso escolhe a última posição possível. Passo:
Seja bi ≥ b ′ i e sejam h, h′ as posições da próximas casas sem base. O algoritmo
guloso escolha h + 4, mas como bi ≥ b ′ i e h ≥ h′ temos b ′ i+1 ≤ h′ + 4 porque
h ′ precisa uma base. Logo, xi+1 = h + 4 ≥ h ′ + 4 ≥ b ′ i+1 .
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