Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

B. Soluções dos exercícios
6. n 2 3 n ≥ n 3 2 n + 1 ⇐ n 2 3 n ≥ n 3 2 n+1 ⇐⇒ 2 log 2 n + n log 2 3 ≥ 3 log 2 n +
(n + 1) log 2 2 ⇐⇒ n log 2 3 ≥ log 2 n + (n + 1) ⇐ n(log 2 3 − 1)/2 ≥ log 2 n
Solução do exercício [64, p. 2.9].
Com f ∈ Θ(n r ) e g ∈ Θ(n s ) temos
c1n r ≤ f ≤ c2n r ; d1n s ≤ g ≤ d2n s
(para constantes c1, c2, d1, d2.) Logo
d1f q ≤ g ◦ f ≤ d2f q
⇒ d1(c1n p ) q ≤ g ≤ d2(c2n p ) q
⇒ f1c q
1 np+q ≤ g ≤ d2c q
2 np+q
⇒ g ∈ Θ(n p+q )
a partir de um n0
Solução do exercício 1.18.
Como log n = (1/ɛ) log n ɛ ≤ (1/ɛ)n ɛ , usando c = 1/ɛ e n0 = 1 satisfaz a
condição necessária da definição de O.
Solução do exercício 2.1.
Cp[Alg1] =
n 2 i−1
i=1 j=1
c = c
2 ·
n
i=1
2 i = c · 2 n − c = O(2 n )
Os detalhes da resolução do algoritmo abaixo foram suprimidos. Resolva com
detalhes e confira se a complexidade final corresponde à encontrada na análise
abaixo.
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Cp[Alg2] =
1≤i≤n
= O(
1≤i≤n
= O(
1≤i≤n
1≤j≤2 i
j ímpar
(2 i ) 3 )
j 2 ≤
8 i ) = 8n+1 − 8
7
1≤i≤n 1≤j≤2i j 2
≤ 8 n+1 = O(8 n )