Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

isso ela não é válida. Ele tem que provar que fn ≤ cn para algum c fixo. Uma
tentativa leva a
fn = 2fn−1
≤ 2cn
≤ cn Perdido!
que mostra que essa prova não funciona.
Solução do exercício 1.10.
E simples ver que f ∈ ô(g) implica f ∈ o(g). Para mostrar a outra direção
suponha que f ∈ o(g). Temos que mostrar que ∀c > 0 : ∃n0 tal que f < cg.
Escolhe um c. Como f ∈ o(g) sabemos que existe um n0 tal que f ≤ c/2g para
n > n0. Se g = 0 para n > n ′ 0 então c/2g < g também. Logo f ≤ c/2g < cg
para n > max(n0, n ′ 0).
Solução do exercício 1.11.
Primeira verifique-se que Φ satisfaz Φ + 1 = Φ 2 .
Prova que fn ∈ O(Φ n ) com indução que fn ≤ cΦ n . Base: f0 = 0 ≤ c e
f1 = 1 ≤ cΦ para c ≥ 1/Φ ≈ 0.62. Passo:
fn = fn−1 + fn−2 ≤ cΦ n−1 + cΦ n−2 = (cΦ + c)Φ n−2 ≤ cΦ n
caso cΦ + c ≤ cΦ 2 .
Prova que fn ∈ Ω(Φ n ) com indução que fn ≥ cΦ n . Base: Vamos escolher
n0 = 1. f1 = 1 ≥ cΦ e f2 = 1 ≥ cΦ 2 caso c ≤ Φ −2 ≈ 0.38. Passo:
fn = fn−1 + fn−2 ≥ cΦ n−1 + cΦ n−2 = (cΦ + c)Φ n−2 ≤ cΦ n
caso cΦ + c ≥ cΦ 2 .
Solução do exercício [64, p. 2.3].
1. 3n + 7 ≤ 5n + 2 ⇐⇒ 5 ≤ 2n ⇐⇒ 2.5 ≤ n (equação linear)
2. 5n + 7 ≤ 3n 2 + 1 ⇐⇒ 0 ≤ 3n 2 − 5n − 6 ⇐⇒ 5/6 + √ 97/6 ≤ n (equação
quadrática)
3. 5 log 2 n + 7 ≤ 5n + 1 ⇐⇒ 7 5 + 2 7 − 2 ≤ 2 5n ⇐⇒ 16933 ≤ 2 5n ⇐⇒
2.809 . . . ≤ n
4. Veja item (b)
5. 52 n + 3 ≥ 3n 2 + 5n ⇐⇒ n ≥ 2 n ≥ (3n 2 + 5n − 3)/5 ⇐ 2 n ≥ n 2 .
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