Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

B. Soluções dos exercícios
Prova de B.3: Para g ∈ Ω(f) + Ω(f) temos g = h + h ′ com c > 0 e n0 tal
que ∀n > n0 h ≥ cf e c ′ > 0 e n ′ 0 tal que ∀n > n0 h ′ ≥ c ′ f. Logo para
n > max(n0, n ′ 0) temos g = h + h ′ ≥ (c + c ′ )f.
Prova de B.4: Para g ∈ Ω(Ω(f)) temos g ≥ ch com h ≥ c ′ f a partir de índices
n0 e n ′ 0, e logo g ≥ cc ′ h a partir de max(n0, n ′ 0).
Prova de B.5: h = f ′ g ′ com f ′ ≥ cf f e g ′ ≥ cgg tal que h = f ′ g ′ ≥ cf cgfg.
Prova de B.6: h ≥ cfg. Escrevendo h = fg ′ temos que mostrar g ′ ∈ Ω(g).
Mas g ′ = h/f ≥ cfg/f = cg.
Solução do exercício 1.7.
“⇐”:
Seja f + c ∈ O(g), logo existem c ′ e n0 tal que ∀n > n0 f + c ≤ c ′ g. Portanto
f ≤ f + c ≤ c ′ g também, e temos f ∈ O(g).
“⇒”:
Essa direção no caso geral não é válida. Um contra-exemplo simples é 0 ∈ O(0)
mas 0+c ∈ O(0). O problema é que a função g pode ser 0 um número infinito
de vezes. Assim f tem que ser 0 nesses pontos também, mas f + c não é. Mas
com a restrição que g ∈ Ω(1), temos uma prova:
Seja f ∈ O(g) logo existem c ′ e n ′ 0 tal que ∀n > n ′ 0 f ≤ c ′ g. Como g ∈ Ω(1)
também existem c ′′ e n ′′
0 tal que ∀n > n ′′
0 g ≥ c ′′ . Logo para n > max(n ′ 0, n ′′
0)
Solução do exercício 1.8.
f + c ≤ c ′ g + c ≤ c ′ g + c
c ′′ g = (c′ + c
)g.
c ′′
1. Para n ≥ 2 temos log 1 + n ≤ log 2n = log 2 + log n ≤ 2 log n.
2. Seja f ∈ log O(n 2 ), i.e. f = log g com g tal que ∃n0, c ∀n > n0 g ≤ cn 2 .
Então f = log g ≤ log cn 2 = log c+2 log n ≤ 3 log n para n > max(c, n0).
3. Temos que mostrar que existem c e n0 tal que ∀n > n0 log log n ≤ c log n.
Como log n ≤ n para todos n ≥ 1 a inequação acima está correto com
c = 1.
Solução do exercício 1.9.
Para provar fn = O(n) temos que provar que existe um c tal que fn ≤ cn a
partir um ponto n0. É importante que a constante c é a mesma para todo n.
Na verificação do professor Veloz a constante c muda implicitamente, e por
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