Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

B. Soluções dos exercícios
Solução do exercício 1.2.
Prova de 1.6:
“⇒”: Seja f ∈ O(g). Como s(n) = sup m≥n f(m)/g(m) é não-crescente e
maior ou igual que 0, é suficiente mostrar que existe um n tal que s(n) < ∞.
Por definição do O temos c > 0 e n0 tal que ∀n > n0 f ≤ cg. Logo ∀n >
n0 sup m≥n f(m)/g(m) ≤ c.
“⇐”: Seja lim sup n→∞ f(n)/g(n) < ∞. Então
∃c > 0∃n0∀n > n0( sup f(m)/g(m)) < c.
m≥n
Isso implica, que para o mesmo n0, ∀n > n0 f < cg e logo f ∈ O(g).
Prova de 1.7:
“⇒”: Seja f ∈ o(g), i.e. para todo c > 0 temos um n0 tal que ∀n > n0 f ≤ cg.
Logo ∀n > n0 f(n)/g(n) ≤ c, que justifique limn→∞ f(n)/g(n) = 0 (veja
lema A.1).
“⇐”: Seja limn→∞ f(n)/g(n) = 0, i.e. para todo c > 0 existe um n0 tal que
∀n > n0 f(n)/g(n) < c pela definição do limite. Logo ∀n > n0 f ≤ cg, tal que
f ∈ o(g).
Prova de 1.8:
“⇒”: Seja f ∈ Ω(g). Como i(n) = infm≥n f(m)/g(m) é não-decrescente, é
suficiente mostrar, que existe um n tal que i(n) > 0. Pela definição de Ω
existem c > 0 e n0 tal que ∀n > n0 f ≥ cg. Logo ∀n > n0 f(n)/g(n) ≥ c > 0,
i.e. i(n0 + 1) > 0.
“⇐”: Suponha lim infn→∞ f(n)/g(n) = l > 0. Vamos considerar os casos
l < ∞ e l = ∞ separadamente.
Caso l < ∞: Escolhe, por exemplo, c = l/2. Pela definição do limite existe n0
tal que ∀n > n0 |l − f/g| ≤ l/2. Logo f ≥ l/2g (f/g aproxima l por baixo) e
f ∈ Ω(g).
Caso l = ∞, i(n) não tem limite superior, i.e. (∀c > 0)∃n0 i(n0) > c. Como
i(n) é não-decrescente isso implica (∀c > 0)∃n0(∀n > n0) i(n) > c. Portanto
∀n > n0f > cg e f ∈ ω(g) ⊆ Ω(g).
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