Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

A. Conceitos matemáticos
Prova. (i) Se −x > 0 temos x < 0, logo ⊢ x |= −x e |x |= −x. O casos
restantes podem ser analisadas analogamente. (ii) Analise da casos. (iii) Para
x + y < 0: |x + y |= −(x + y) = (−x) + (−y) ≤⊢ x|+ ⊢ y |= |x| + |y|. Para
x + y ≥ 0: |x + y |= x + y ≤ |x| + |y|. (iv) Para xy ≥ 0: Se x = 0 temos
|xy |= 0 = |x||y|, se x > 0 temos y > 0 e |xy |= xy = |x||y|, se x < 0 temos
y < 0 e |xy |= xy = (−|x|)(−|y|) = |x||y|. Caso xy < 0 similar.
Corolário A.1
1≤i≤n
1≤i≤n
xi
xi
≤
1≤i≤n
=
1≤i≤n
|xi| (A.5)
|xi| (A.6)
(A.7)
Prova. Prova com indução sobre n.
Proposição A.2 (Regras para o máximo)
Para ai, bi ∈ R
max
i ai + bi ≤ max
i ai + max bi
i
Prova. Seja ak + bk = maxi ai + bi. Logo
max
i ai
+ bi = ak + bk ≤ max
i ai
+ bi ≤ max
i ai + max
i
bi.
(A.8)
Definição A.3 (Pisos e tetos)
Para x ∈ R o piso ⌊x⌋ é o maior número inteiro menor que x e o teto ⌈x⌉ é o
menor número inteiro maior que x. Formalmente
⌊x⌋ = max{y ∈ Z|y ≤ x}
⌈x⌉ = min{y ∈ Z|y ≥ x}
O parte fracionário de x é {x} = x − ⌊x⌋.
Observe que o parte fracionário sempre é positivo, por exemplo {−0.3} = 0.7.
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