Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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15. Complexidade de circuitos Teorema 15.3 Seja ⊕(x1, . . . , xn) = 1≤i≤n xi mod 2 a função de paridade. ⊕ ∈ AC 0 . Prova. Seja C algum circuito em AC 0 . Podemos supor a seguinte forma normal: • C tem fan-out 1: caso contrário podemos introduzir cópias de subcircuitos, mantendo um tamanho polinomial e a mesma profundidade (constante). • C tem todas negações nas entradas ou equivalente temos 2n entradas xi, ¬xi, 1 ≤ i ≤ n. • Os níveis de C alternadamente são conjunções e disjunções: como a fan-in é ilimitado dá para juntar cascatas de operações do mesmo tipo. • O último nível são conjunções com fan-in 1. Sejam nb o tamanho e d a profundidade desse circuito. A idéia da prova é: (i) converter os últimos dois níveis em FNC para FND ou em FND para FNC (ii) juntar dois níveis com a mesma operação aumentando o fan-in do circuito e diminuindo a profundidade por um (iii) repetir passos (i) e (ii) d − 2 vezes, (iv) aplicar o lema 15.6 d−2 para argumentar que isso com alta probabilidade é possível (v) argumentar que o circuito restrito resultante não pode obtido por alguma restrição da função da paridade. A i-gésima restrição vai resultar num circuito de tamanho ni com fan-in ki no último nível. Temos n0 = n e vamos restringir ni− √ ni variáveis na i+1-ésima restrição, i.e., ni = n1/2i, mantendo um fan-in no máximo ki = 10b2i . Supõe essas restrições são satisfeitas após da i-gésima restrição e o penúltimo nível contém disjunções. Os últimos dois nível representam fórmulas em ki-DNF. Pelo lema 15.6 então existe com probabilidade ao menos ki+1/2 10 ki 1 1 − √ ≥ 1 − ni 10nb para n suficientemente grande, uma ki+1-CNF que representa a mesma função. Agora existem dois níveis de conjunções que podemos unir reduzindo a profundidade do circuito por um. Caso o penúltimo nível consiste em conjunções uma transformação similar é possível. O lema é aplicada para cada um dos n b portas lógicas no máximo um vez, e a probabilidade de falhar e ≤ 1/10n b , portanto a probabilidade de falhar nas d − 2 reduções de um nível é ≤ 1/10, i.e., com probabilidade 9/10 existe um circuito com as características desejadas. Este circuito resultando tem fanin kd2 no último nível e portanto é uma kd−2-FNC ou kd−2-FND. Portanto, 290
fixando no máximo kd−2 variáveis (zerando todas variáveis de uma claúsula, por examplo), obtemos uma função constante. Mas a função da paridade nunca é constante para uma restrição de menos que n variáveis. Portanto o circuito não pode ser a representação de ⊕. 291
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Recorrências simplificadas Formalm
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• Prove por indução que T (n) =
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Saída A potência a n . 1 i f n =
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s 30 19 12 i 10 10 j 10 10 10 1010
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Solução Um fluxo s-t f com valor
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Objetivo Minimiza o valor c(M) de M
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