Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

15. Complexidade de circuitos
Teorema 15.3
Seja ⊕(x1, . . . , xn) =
1≤i≤n xi mod 2 a função de paridade. ⊕ ∈ AC 0 .
Prova. Seja C algum circuito em AC 0 . Podemos supor a seguinte forma
normal:
• C tem fan-out 1: caso contrário podemos introduzir cópias de subcircuitos,
mantendo um tamanho polinomial e a mesma profundidade (constante).
• C tem todas negações nas entradas ou equivalente temos 2n entradas
xi, ¬xi, 1 ≤ i ≤ n.
• Os níveis de C alternadamente são conjunções e disjunções: como a
fan-in é ilimitado dá para juntar cascatas de operações do mesmo tipo.
• O último nível são conjunções com fan-in 1.
Sejam nb o tamanho e d a profundidade desse circuito. A idéia da prova é:
(i) converter os últimos dois níveis em FNC para FND ou em FND para FNC
(ii) juntar dois níveis com a mesma operação aumentando o fan-in do circuito
e diminuindo a profundidade por um (iii) repetir passos (i) e (ii) d − 2 vezes,
(iv) aplicar o lema 15.6 d−2 para argumentar que isso com alta probabilidade
é possível (v) argumentar que o circuito restrito resultante não pode obtido
por alguma restrição da função da paridade.
A i-gésima restrição vai resultar num circuito de tamanho ni com fan-in ki no
último nível. Temos n0 = n e vamos restringir ni− √ ni variáveis na i+1-ésima
restrição, i.e., ni = n1/2i, mantendo um fan-in no máximo ki = 10b2i . Supõe
essas restrições são satisfeitas após da i-gésima restrição e o penúltimo nível
contém disjunções. Os últimos dois nível representam fórmulas em ki-DNF.
Pelo lema 15.6 então existe com probabilidade ao menos
ki+1/2 10 ki 1
1 − √ ≥ 1 −
ni
10nb
para n suficientemente grande, uma ki+1-CNF que representa a mesma função.
Agora existem dois níveis de conjunções que podemos unir reduzindo a profundidade
do circuito por um. Caso o penúltimo nível consiste em conjunções
uma transformação similar é possível.
O lema é aplicada para cada um dos n b portas lógicas no máximo um vez, e
a probabilidade de falhar e ≤ 1/10n b , portanto a probabilidade de falhar nas
d − 2 reduções de um nível é ≤ 1/10, i.e., com probabilidade 9/10 existe um
circuito com as características desejadas. Este circuito resultando tem fanin
kd2 no último nível e portanto é uma kd−2-FNC ou kd−2-FND. Portanto,
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