Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Identidades falsas das relações de crescimento
1.2. Notas
Proposição 1.4 (Identidades falsas das relações de crescimento)
É verdadeiro que
mas as seguintes afirmações não são verdadeiras:
f g ⇒ f ≻ g
f g ⇒ f ≺ g
f ≻ g ⇒ f g (1.21)
f ≺ g ⇒ f g (1.22)
f ≺ g ∨ f ≍ g ∨ f ≻ g (Tricotomia)
Prova. Exercício.
Considerando essas características, a notação tem que ser usada com cuidado.
Uma outra abordagem é definir O etc. diferente, tal que outras relações acima
são verdadeiras. Mas parece que isso não é possível, sem perder outras [68].
1.2. Notas
Alan Turing provou em 1936 que o “problema de parada” não é decidível.
O estudo da complexidade de algoritmos começou com o artigo seminal de
Hartmanis e Stearns [35].
O estudo da complexidade de calcular a determinante tem muito mais aspectos
interessantes. Um deles é que o método de Gauss pode produzir resultados
intermediários cuja representação precisa um número exponencial de bits em
função do tamanho da entrada. Portanto, o método de Gauss formalmente não
tem complexidade O(n 3 ). Resultados atuais mostram que uma complexidade
de operações de bits n 3.2 log A 1+o(1) é possível [40].
Nossa discussão da regra de Cramer usa dois métodos naivos para calcular
determinantes. Habgood e Arel [34] mostram que existe um algoritmo que
resolve um sistema de equações lineares usando a regra de Cramer em tempo
O(n 3 ).
1.3. Exercícios
(Soluções a partir da página 307.)
Exercício 1.1
Quais funções são contidos nos conjuntos O(−1), o(−1), Ω(−1), ω(−1)?
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