Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Portanto, a classe SIZE(2n2 n ) contém todas funções booleanas computáveis.
Para o estudo de complexidade essa classe é poderoso demais. Ela contém
até funções não computáveis como o problema de parada (por quê?). Isso é o
motivo para investigar quais funções booleanas são computáveis com menos
portas lógicas.
Definição 15.3 (Circuitos com um número polinomial de portas)
A classe de complexidade P/poly contém todas linguagens decidíveis por familias
de circuitos de tamanho polinomial, i.e.,
P/poly =
SIZE(n k )
k>0
O seguinte lema estabelece que tudo que pode ser decidido por uma MT, pode
ser decido por uma família de circuitos booleanos de tamanho não mais que
o quadrado do tempo de execução da MT.
Lema 15.1
Para uma função t : N → N tal que L ∈ DTIME(t(n)) temos L ∈ SIZE(O(t(n) 2 )).
Prova. (Rascunho.) Seja L ∈ P alguma linguagem e M a MTD correspondente.
Cada execução possível de M pode ser representado por uma tableau
T = (tij) de tamanho t(n) × t(n). Cada celula tij contém um símbolo da
fita em Γ ou ainda um símbolo em Γ × Q representando adicionalmente a
posição e o estado da cabeça. O conteúdo da celula tij depende somente do
conteúdo das celulas ti−1,j−1, ti−1,j e ti−1,j+1. Seja sijk ∈ {0, 1} um valor
booleano que é verdadeira caso a celula ti,j contém o símbolo k (com
k = |Γ ∪ Γ × Q|). Para cada regra da MTD que define o valor de tij como s0,
dado valores ti−1,j−1 = s1, ti−1,j = s2 e ti−1,j+1 = s3, vamos adicionar um
circuito si−1,j−1,s1 ∧ si−1,j,s2 ∧ si−1,j+1,s3 à celula tij. O novo símbolo em i, j
é k, caso existe alguma transição desse tipo, i.e,
sijk =
tij=k|ti−1,j−1=s1,ti−1,j=s2,ti−1,j+1=s3
si−1,j−1,s1 ∧ si−1,j,s2 ∧ si−1,j+1,s3
Para terminar a construção do circuito, temos que definir as entradas de acordo
com o estado inicial da máquina, e definir uma saída do circuito. Isso é possível
usando uma MTD modificada M ′ que antes de aceitar posiciona a cabeça na
primeira celula da fita e escreve o símbolo 0 nessa posição. Com isso a saída
do circuito é s t(n),1,(0,qa).
O número de portas lógicas necessárias para implementar o circuito é no
máximo k(k 3 − 1 + 2k 3 ) = O(k 4 ) por celula, e portanto O(t(n) 2 ).
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