Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

15. Complexidade de circuitos
x1
¬
∧
∧
x2
∨
x3
¬
∧
¬
∧
∧
Para estudar a complexidade assintótica, um único circuito não é suficiente,
porque o número de entradas é fixo: temos que estudar famílias de circuitos.
Definição 15.2
Para uma função t : N → N, uma família de circuitos de tamanho t(n) é uma
sequencia {Cn}n∈N de circuitos booleanos. O circuito Cn tem n entradas e
uma saída e tamanho |Cn| ≤ t(n). Uma linguagem L pertence à classe de
complexidade SIZE(t(n)) caso existe um família de circuitos de tamanho t(n)
{Cn}n∈N tal que para todo x ∈ {0, 1} ∗ temos x ∈ L sse C |x|(x) = 1.
Proposição 15.1
Cada função f : {0, 1} n → {0, 1} pode ser calculada por um circuito de
tamanho O(n2 n ).
Prova. Para toda atribuição a ∈ {0, 1} n existe uma claúsula (maxterm)
Ca tal que Ca(a) = 0 e Ca(a ′ ) = 1 para toda atribuição a ′ = a. Podemos
construir uma fórmula ϕ em forma normal conjuntivo que é a conjunção de
todas claúsulas Ca para a ∈ {0, 1} n tal que f(a) = 0:
ϕ(x) =
∧
x4
a:f(a)=0
∨
∨
Ca(x)
Não é difícil verificar que ϕ(x) = f(x). Uma implementação por um circuito
booleano precisa no máximo n+(n−1+n)2 n +2 n −1+1 = n+2n2 n = O(n2 n )
portas lógicas.
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