Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

1. Introdução e conceitos básicos
Relações de crescimento
Definição 1.1 (Relações de crescimento)
f ≺ g ⇐⇒ f ∈ o(g) (1.16)
f g ⇐⇒ f ∈ O(g) (1.17)
f ≻ g ⇐⇒ f ∈ ω(g) (1.18)
f g ⇐⇒ f ∈ Ω(g) (1.19)
f ≍ g ⇐⇒ f ∈ Θ(g) (1.20)
Essas relações são chamadas “notação de Vinogradov” 4 .
Caso f g digamos as vezes “f é absorvido pela g”. Essas relações satisfazem
as características básicas esperadas.
Características das relações de crescimento
Proposição 1.3 (Características das relações de crescimento)
Sobre o conjunto de funções [N → R + ]
1. f g ⇐⇒ g f,
2. e são ordenações parciais (reflexivas, transitivas e anti-simétricas
em relação de ≍),
3. f ≺ g ⇐⇒ g ≻ f,
4. ≺ e ≻ são transitivas,
5. ≍ é uma relação de equivalência.
Prova. Exercício.
Observe que esses resultados podem ser traduzidos para a notação O. Por
exemplo, como ≍ é uma relação de equivalência, sabemos que Θ também
satisfaz
f ∈ Θ(f)
f ∈ Θ(g) ⇒ g ∈ Θ(f)
f ∈ Θ(g) ∧ g ∈ Θ(h) ⇒ f ∈ Θ(h)
A notação com relações é sugestiva e freqüentemente mais fácil de usar, mas
nem todas as identidades que ela sugere são válidas, como a seguinte proposição
mostra.
4 Uma notação alternativa é ≪ para e ≫ para . Infelizmente a notação não é padro-
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nizada.