Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

14. Fora do NP
A classe co-NP
TAUT
• A definição da classe NP é unilateral. Por exemplo, considere
Instância Fórmula proposicional em forma normal disjuntiva ϕ.
Decisão ϕ é uma tautologia (Todas as atribuições satisfazem ϕ)?
• Uma prova sucinta para esse problema não é conhecido, então suponhamos
que TAUT ∈ NP.
• Em outras palavras, NP parece de não ser fechado sobre a complementação:
co-NP = NP ?
Proposição 14.2
Se L ∈ NPC então L ∈ co-NP ⇐⇒ NP = co-NP.
Proposição 14.3
TAUT é co-NP-completo.
Prova. (Proposição 14.2.) Seja L ∈ NPC. (→): Seja L ∈ co-NP. Se L ′ ∈ NP,
temos L ′ ≤P L ∈ co-NP, logo NP ⊆ co-NP. Se L ′ ∈ co-NP, então L ′ ∈ NP e
L ′ ≤P L ∈ co-NP, logo L ′ ∈ co-NP e L ′ ∈ NP. (←): Como L ∈ NPC ⊆ NP, e
NP = co-NP, também L ∈ co-NP.
Prova. (Proposição 14.3, rascunho.) TAUT ∈ co-NP, porque uma MT com
um estado universal pode testar todas atribuições das variáveis proposicionais
e aceita se todas são verdadeiras.
Para provar a completude, temos que provar, que toda linguagem L ∈ co-NP ≤P
TAUT. A prova é uma modificação da prova do teorema de Cook: Com entrada
w ∈ L produzimos uma fórmula ϕw usando o método de Cook. Temos
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w ∈ L ⇐⇒ ϕw satisfatível pela def. de ϕw
w ∈ L ⇐⇒ ϕw insatisfatível negação da afirmação
⇐⇒ ¬ϕw é tautologia