13.04.2013
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13. Teoria de NP-completude (q, a) (q, a) (−, a) (q, R) − − (q, L) − − (−, a) (−, a) (−, a) As cores no sul da grade representam a configuração inicial (q0, a1)(−, a2) · · · (−, an)(−, ) · · · (−, ) as cores no norte a configuração final (supondo que a máquina limpa a fita depois, que sempre é possível) (qa, −)(−, ) · · · (−, ) e as cores dos lados oeste e este todos são −. Pela construção uma computação da MT que aceita corresponde com um ladrilhamento e vice versa. A construção do grade e das tipos de ladrilhos pode ser computado por uma máquina de Turing em tempo polinomial. Resultado intermediário • Primeiros problemas em NPC: Para uma separação é “só” provar que Ladrilhamento ∈ P ou BHALT ∈ P. • Infelizmente: a prova é difícil, mesmo que a maioria das pesquisadores acredita P = NP. • Outro valor: Para provar que um problema L ∈ NPC, é suficiente de mostrar que, por exemplo Ladrilhamento ≤P L. Proposição 13.3 Se A ⊆ B e A é fechado para baixo em relação à redução ≤ e L e B-≤-completo então L ∈ A ⇐⇒ A = B. Exemplo: O problema SAT 266 SAT Instância Fórmula proposicional em forma normal conjuntiva Φ(x1, . . . , xn). Questão Tem uma atribuição a1, . . . , an ∈ B que satisfaz Φ?
Teorema 13.5 (Cook) SAT é NP-completo. Prova (1) Objetivo: Provar Ladrilhamento ≤P SAT. Seja Prova (2) Nx,y,c variável “o norte da posição x, y tem cor c” S, W, E analogamente Li,x,y := Nx,y,ti(N) ∧ c∈C c=t i (N) ∧ W x,y,ti(W ) ∧ ∧ S x,y,ti(S) ∧ c∈C c=t i (W ) c∈C c=t i (S) ∧ E x,y,ti(E) ∧ c∈C c=t i (E) ¬Nx,y,c ¬Wx,y,c ¬Sx,y,c ¬Ex,y,c 13.2. Reduções 267
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Algoritmos e complexidade Notas de
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Conteúdo 5. Programação dinâmic
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3. Introdução Resolver problemas
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6. Divisão e conquista 6.1. Introd
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Recorrências simplificadas Formalm
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• Prove por indução que T (n) =
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Saída A potência a n . 1 i f n =
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3 Quicksort (l ,m − 1 ,a ) ; 4 Qu
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unidade. Em total a avaliação pro
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3. T (n) = 3T (n/4) + n log n 4. T
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9.1. Fluxos em redes A circulação
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+ + − + Figura 9.3.: Manter a con
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Prova. Seja f um fluxo s-t. Temos 9
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9.1. Fluxos em redes aumentou nessa
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V ′ = V ∪ {s ∗ , t ∗ } 9.1.
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s 30 19 12 i 10 10 j 10 10 10 1010
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Solução Um fluxo s-t f com valor
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Objetivo Minimiza o valor c(M) de M
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9.2. Emparelhamentos Teorema 9.4 (B
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9.2. Emparelhamentos V1 e V2 com fl
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9.2. Emparelhamentos Sobre a implem
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9.2. Emparelhamentos reduzir o prob
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v10 v9 v1 v8 v2 v3 v7 v6 v4 v5 v10
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10. Algoritmos de aproximação (As
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2 2 10.2. Aproximações para o PCV
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10.3. Algoritmos de aproximação p
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Parte IV. Teoria de complexidade 23
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11. Do algoritmo ao problema Modelo
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11. Do algoritmo ao problema - entr
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11. Do algoritmo ao problema Lingua
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11. Do algoritmo ao problema Decibi
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12. Classes de complexidade 12.1. D
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12.2. Hierarquias básicas Prova. (
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12.2. Hierarquias básicas 1. Temos
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12.3. Exercícios 12.3. Exercícios
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13. Teoria de NP-completude • Int
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13. Teoria de NP-completude C-≤-d
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13. Teoria de NP-completude Ladrilh
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13. Teoria de NP-completude Sejam c
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13. Teoria de NP-completude Decisã
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14. Fora do NP Classes fora do P-NP
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A classe co-NP 14.1. De P até PSPA
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14.1. De P até PSPACE Para provar
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A hierarquia polinomial Mais exempl
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• Agora, consideramos os seguinte
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14.3. Exercícios The equivalence p
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15. Complexidade de circuitos x1 ¬
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15. Complexidade de circuitos Corol
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15. Complexidade de circuitos Teore
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A. Conceitos matemáticos Nessa se
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Proposição A.3 (Regras para pisos
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2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.1. F
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A.2. Somatório A última regra é
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Uma aplicação: 1≤i≤n ix i =
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Lema A.1 (Definição alternativa d
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A.6. Grafos e ∩ f = ∅. Para um
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B. Soluções dos exercícios Prova
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B. Soluções dos exercícios Prova
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B. Soluções dos exercícios 6. n
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B. Soluções dos exercícios c fix
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B. Soluções dos exercícios 9 ret
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B. Soluções dos exercícios Anali
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Índice DSPACE, 252 DTIME, 252 NP,
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função concava, 297 convexa, 297
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teorema de Savitch, 256 tese de Cob
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Bibliografia [15] Thomas H. Cormen
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Bibliografia [42] Jon Kleinberg e
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Bibliografia [72] V. Vassilevska Wi
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