Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

13.2. Reduções
Instância Tipos de ladrilhos t1, . . . , tk e um grade de tamanho n × n com
cores nas bordas. (Cada ladrilho pode ser representado por quatro
símbolos para as cores; a grade consiste de n 2 ladrilhos em branco e
4n cores; uma instância tem tamanho O(k + n 2 ).
Questão Existe um ladrilhamento da grade tal que todas cores casam
(sem girar os ladrilhos)?
Teorema 13.4 (Levin)
Ladrilhamento é NP-completo.
Prova. O problema é em NP, porque dado um conjunto de tipos de ladrilhos
e um ladrilhamento, podemos verificar as restrições das cores em tempo
polinomial.
Vamos reduzir qualquer problema em L ∈ NP para Ladrilhamento. Seja
L = L(M) para alguma MTND e seja k tal que M precisa tempo n k . Para
entrada w, vamos construir uma instância de Ladrilhamento do tamanho
(|w| k ) 2 . Idéia: os cores dos cantos de sul e de norte vão codificar um símbolo
da fita a informação se a cabeça está presente e o estado da máquina. Os
cores dos cantos oeste e este vão codificar informação adicional para mover a
cabeça. O canto sul da grade vão ser colorido conforme o estado inicial da
máquina, o canto norte com o estado final e vamos projetor as ladrilhas de tal
forma que ladrilhar uma linha (de sul para o norte) e somente possível, se as
cores no sul e norte representam configurações sucessores.
Nos vamos usar as cores Q ∪ {−} × Γ na direção norte/sul e Q × {L, R} ∪ {−}
na direção oeste/este. Para uma regra q, a → q ′ , a ′ , L os ladrilhos tem a forma
(−, a ′ )
e para q, a → q ′ , a ′ , R
Além disso, tem ladrilhos
(q ′ , L) −
(q, a)
(−, a ′ )
− (q ′ , R)
(q, a)
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