Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

13. Teoria de NP-completude
• Intuição: Uma relação é a especificação de um problema de busca: para
entrada x queremos achar alguma solução y tal que (x, y) ∈ R.
• Nosso interesse são soluções que podem ser “escritas” em tempo polinomial:
Definição 13.1
Uma relação binária R é polinomialmente limitada se
P e NP em termos de busca
∃p ∈ poly : ∀(x, y) ∈ R : |y| ≤ p(|x|)
• A definição de P e NP é como classes de problemas de decisão.
• A linguagem correspondente com uma relação R é
LR = {x | ∃y : (x, y) ∈ R}
• A classe P: Linguagens LR tal que existe uma MTD que, com entrada
x ∈ LR, em tempo polinomial, busque (x, y) ∈ R ou responda, que não
tem.
• Essa definição do P às vezes é chamado FP ou PF.
• A classe NP: Linguagens LR tal que existe MTD que, com entrada (x, y),
decide se (x, y) ∈ R em tempo polinomial. y se chama um certificado.
A restrição para problemas de decisão facilita o tratamento teórico, mas não
é importante para a tratabilidade de problemas.
Teorema 13.2 ([65, Th. 2],[6, Th. 2.18])
Para cada problema de busca definido por uma relação polinomialmente limitada
R, existe um problema de decisão tal que, caso o problema de decisão
pode ser resolvido em tempo t(n), o problema de busca pode ser resolvido em
tempo n O(1) t(n). Em particular, P = NP sse cada problema de busca possui
solução em tempo polinomial.
Prova. Para a relação R, considera o problema de decidir, para entrada x,
w, se existe um z tal que (x, w ◦ z) ∈ R. Supõe que temos um algoritmo A que
resolve este problema em tempo t(n). Então podemos construir o seguinte
algoritmo, para entrada x
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