Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

12. Classes de complexidade
Hierarquia de tempo (1)
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É possível que a decisão de todos problemas tem um limite superior (em
termos de tempo ou espaço)? Não.
Teorema 12.2
Para t(n) e s(n) total e recursivo, existe um linguagem L tal que L ∈ DTIME[t(n)]
ou L ∈ DSPACE[s(n)], respectivamente.
Prova. (Rascunho). Por diagonalização. As máquinas de Turing são enumeráveis:
seja M1, M2, . . . uma enumeração deles e seja x1, x2, . . . uma enumeração
das palavras em Σ ∗ . Define
L = {xi | Mi naõ aceita xi em tempo t(|xi|)}.
Essa linguagem é decidível: Uma MT primeiramento calcula t(|xi|) (que é
possível porque t(n) é recursivo e total.). Depois com entrada xi, ela determina
i e a máquina Mi correspondente e simula Mi t(|xi|) passos. Se Mi aceita, ela
rejeita, senão ela aceita.
Essa linguagem não pertence a DTIME[t(n)]. Prova por contradição: Seja
L = L(Mi). Então xi ∈ L? Caso sim, Mi não aceita em tempo t(|xi|), uma
contradição. Caso não, Mi não aceita em tempo t(|xi|), e portanto xi ∈ L,
outra contradição.
Hierarquia de tempo (2)
Além disso, as hierarquias de tempo são “razoavelmente densos”:
Teorema 12.3 (Hartmanis,Stearns, 1965)
Para f, g com g tempo-construtível e f log f = o(g) temos
DTIME(f) DTIME(g).
Para funções f, g, com g(n) ≥ log 2 n espaço-construtível e f = o(g) temos
DSPACE(f) DSPACE(g).
Prova. (Rascunho.) Para provar o segundo parte (que é mais fácil) temos que
mostrar que existe uma linguagem L ⊆ Σ ∗ tal que L ∈ DSPACE[g] mas L ∈
DSPACE[f]. Vamos construir uma MT M sobre alfabeto de entrada Σ = {0, 1}
tal que L(M) satisfaz essas característica. A idéia básica é diagonalização:
com entrada w simula a máquina Mw sobre w e garante nunca reconhecer a
mesma linguagem que Mw caso ela é limitada por f.
Para realizer essa ideia:
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