Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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11. Do algoritmo ao problema Decibilidade versus complexidade • Qual é o poder computacional? • Surpreendentemente (?), vários problemas não são decidíveis. • Exemplo: O “Entscheidungsproblem” de Hilbert, o problema de parada, etc. • A equivalência dos modelos significa que o modelo concreto não importa? • Sim para computabilidade, não para complexidade! Exemplo de um modelo diferente: A máquina de RAM. A máquina RAM A máquina RAM (random access machine) é o modelo padrão para análise de algoritmos. Ela possui • um processador com um ou mais registros, e com apontador de instruções, • uma memória infinita de números inteiros e • instruções elementares (controle,transferência inclusive endereçamento indireto,aritmética). A máquina RAM Existem RAMs com diferentes tipos de instruções aritméticas • SRAM : somente sucessor • RAM : adição e subtração • MRAM : multiplicação e divisão e com diferentes tipos de custos 248 • Custo uniforme: cada operação em O(1) • Custo logarítmico: proporcional ao número de bits dos operandos
Exemplos de simulação Teorema 11.2 (Leeuwen [46]) m − tapes ≤ 1 − tape(time kn 2 & space Lin) m − tapes ≤ 2 − tape(time kn log n & space Lin) SRAM − UTIME ≤ T (time n 2 log n) RAM − UTIME ≤ T (time n 3 ) MRAM − UTIME ≤ T (time Exp) SRAM − LTIME ≤ T (time n 2 ) RAM − LTIME ≤ T (time n 2 ) MRAM − LTIME ≤ T (time Poly) Robustez da complexidade 11.1. Introdução Tese estendida de Church-Turing Qualquer modelo de computação universal é equivalente à máquina de Turing com • custo adicional de tempo no máximo polinomial • custo adicional de espaço no máximo constante • Equivalência definido por simulação mutual. • Verdadeiro para quase todos modelos conhecidos: Maquina de Turing, cálculo lambda, máquina RAM, máquina pontador, circuitos lógicos, autômatos celulares (Conway), avaliação de templates em C++, computador billiard, ... • Computador quântico? Consequência: Shor’s trilemma Ou • a tese estendida de Church-Turing é errada, ou • a física quântica atual é errada, ou • existe um algoritmo de fatoração clássico rápido. 249
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Recorrências simplificadas Formalm
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• Prove por indução que T (n) =
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Saída A potência a n . 1 i f n =
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unidade. Em total a avaliação pro
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