Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

11. Do algoritmo ao problema
Observação 11.2
Uma modelo conveniente com k > 1 fitas é usar a primeira fita como fita de
entrada e permitir somente leitura; uma outra fita das k − 1 restantes e usado
como fita da saída caso a MT calcula uma função. ♦
Proposição 11.1
Se uma MTD M = (Q, Σ, Γ, δ) com Σ = {0, 1} decide uma linguagem L em
tempo t(n), com t(n) tempo-construtível, então existe uma MT com alfabeto
Γ ′ = {0, 1, } que decide L em tempo 4 log |Γ|t(n).
Prova. Para construir uma MT que trabalha com Γ ′ vamos codificar cada
símbolo em Γ por um string de log |Γ| bits. Em cada passo, a simulação lê
log |Γ| na posição atual, calcula o novo símbolo e estado usanda as regras de M,
escreve os novos log |Γ| símbolos, e movimenta a cabeção log |Γ| posições para
direita ou esquerda. Para essa simulação, a nova máquina precisa armazenar o
estado Q e no máximo log |Γ| símbolos na cabeça, e ainda precisa um contador
de 1 até log |Γ|. Isso é possível com O(Q × |Γ| 2 ) estados e em menos que
4 log |Γ|t(n) passos (ler, escrever, movimentar e talvez alguns passos para o
controle).
Proposição 11.2
Se uma MTD M = (Q, Σ, Γ, δ) com Σ = {0, 1} e com k > 1 fitas decide uma
linguagem L em tempo t(n) ≥ n, com t(n) tempo-construtível, então existe
uma MT com única fita que decide L em tempo 5kt(n) 2 .
Prova. Vamos construir uma MT M ′ que simula M com uma única fita.
M ′ armazeno o conteúdo das k fitas de M de forma intercalada nas posições
1 + ki, para 1 ≤ i ≤ k. Para representar as posições das cabeças, usamos
símbolos com uma marca ˙a. M ′ não altera as primeiras n posições da sua
fita que contém a entrada, mas copia-las para a posição n + 1 na codificação
acima.
Para simular um passo de M, M ′ escaneia a fita de esquerda para direita para
determinar as posições das cabeças e os símbolos correspondentes. Depois M ′
usa as regras de transição de M para determinar o novo símbolo, estado, e o
movimento da cabeça. Um segunda scan da direita para esquerda atualiza a
fita de acordo.
M ′ produz as mesma sáida que M. Como a maior posição visitada por M é
t(n), a maior posição visitada por M ′ é no máximo kt(n)+2n ≤ (k +2)t(n) ≤
2kt(n). Portanto, para cada passo de M, M ′ precisa no máximo 5kt(n) passos
(4kt(n) para escanear, e alguns para o controle).
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