Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

10. Algoritmos de aproximação
Algoritmo 10.2 (KCM)
Entrada Grafo G = (V, A, c).
Saida Um k-corte.
1. Calcula uma AGH T em G.
2. Forma a união dos k − 1 cortes mais leves definidos por k − 1
arestas em T .
Teorema 10.7
Algoritmo 10.2 é uma 2 − 2/k-aproximação.
Prova. Seja C ∗ =
uma corte mínimo, decomposto igual à prova
1≤i≤k C∗ i
anterior. O nosso objetivo e demonstrar que existem k − 1 cortes definidos
por uma aresta em T que são mais leves que os C∗ i .
Removendo C∗ de G gera componentes V1, . . . , Vk: Define um grafo sobre esses
componentes identificando vértices de uma componente com arcos da AGH T
entre os componentes, e eventualmente removendo arcos até obter uma nova
árvore T ′ . Seja C∗ k o corte de maior peso, e define Vk como raiz da árvore.
Desta forma, cada componente V1, . . . , Vk−1 possui uma aresta associada na
direção da raiz. Para cada dessas arestas (u, v) temos
w(C ∗ i ) ≥ w ′ (u, v)
porque C ∗ i isola o componente Vi do resto do grafo (particularmente separa u
e v), e w ′ (u, v) é o peso do menor corte que separa u e v. Logo
w(C) ≤
w ′ (a) ≤
w(C ∗ i ) ≤ (1−1/k)
a∈T ′
10.4. Exercícios
1≤i