Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

10. Algoritmos de aproximação
2. Duplica todas arestas de A.
3. Acha um caminho Euleriano nesse grafo.
4. Remove vértices duplicados.
Teorema 10.4
O algoritmo acima define uma 2-aproximação.
Prova. A melhor solução do PCV menos uma aresta é uma árvore geradora de
G. Portanto c(A) ≤ OPT. A solução S obtida pelo algoritmo acima satisfaz
c(S) ≤ 2c(A) e portanto c(S) ≤ 2OPT, pelo mesmo argumento da prova do
teorema 10.2.
O fator 2 dessa aproximação é resultado do passo 2 que duplica todas arestas
para garantir a existência de um caminho Euleriano. Isso pode ser garantido
mais barato: A AGM A possui um número par de vértices com grau impar
(ver exercício 10.2), e portanto podemos calcular um emparelhamento perfeito
mínimo E entre esse vértices. O grafo com arestas A ∪ E possui somente
vértices com grau par e portanto podemos aplicar os restantes passos nesse
grafo.
Teorema 10.5
A algoritmo usando um emparelhamento perfeito mínimo no passo 2 é uma
3/2-aproximação.
Prova. O valor do emparelhamento E não é mais que OPT/2: remove vértices
não emparelhados em E da solução ótima do PCV. O ciclo obtido dessa forma
é a união dois emparelhamentos perfeitos E1 e E2 formados pelas arestas pares
ou impares no ciclo. Com E1 o emparelhamento de menor custo, temos
e portanto
c(E) ≤ c(E1) ≤ (c(E1) + c(E2))/2 = OPT/2
c(S) = c(A) + c(E) ≤ OPT + OPT/2 = 3/2OPT.
10.3. Algoritmos de aproximação para cortes
Seja G = (V, A, c) um grafo conectado com pesos c nas arestas. Lembramos
que um corte C é um conjunto de arestas que separa o grafo em dois partes
S . ∪ V \ S. Dado dois vértices s, t ∈ V , o problema de achar um corte mínimo
que separa s e t pode ser resolvido via fluxo máximo em tempo polinomial.
Generalizações desse problema são:
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