Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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10.2. Aproximações para o PCV
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Figura 10.2.: AGM sobre R e melhor solução. : vértice em R, : vértice
Steiner.
Prova. Considere a solução ótima S ∗ de ASM. Duplica todas arestas 1 tal
que todo vértice possui grau par. Acha um caminho Euleriano nesse grafo.
Remove vértices duplicados nesse caminho. O custo do caminho C obtido
dessa forma não é mais que o dobro do custo original: o grafo com todas
arestas custa 2c(S ∗ ) e a remoção de vértices duplicados não aumenta esse
custo, pela metricidade. Como esse caminho é uma árvore geradora, temos
c(A) ≤ c(C) ≤ 2c(S ∗ ) para AGM A.
10.2. Aproximações para o PCV
Teorema 10.3
Para função polinomial α(n) o PCV não possui α(n)-aproximação em tempo
polinomial, caso P = NP.
Prova. Via redução de HC para PCV. Para uma instância G = (V, A) de HC
define um grafo completo G ′ com
1 a ∈ A
ca =
α(n)n caso contrário
Se G possui um ciclo Hamiltoniano, então o custo da menor rota é n. Caso
contrário qualquer rota usa ao menos uma aresta de custo α(n)n e portanto
o custo total é ≥ α(n)n. Portanto, dado uma α(n)-aproximação de PCV
podemos decidir HC em tempo polinomial.
Caso métrico No caso métrico podemos obter uma aproximação melhor.
Determina uma rota como segue:
1. Determina uma AGM A de G.
1 Isso transforma G num multigrafo.
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