Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

10. Algoritmos de aproximação
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Figura 10.1.: Grafo com fecho métrico.
subgrafo conexo mínimo que inclui um dado conjunto de vértices necessários
R ⊆ V (terminais). Esse subgrafo sempre é uma árvore (ex. 10.1). O conjunto
V \ R forma os vértices Steiner. Para um conjunto de arcos A, define o custo
c(A) =
a∈A ca.
Observação 10.1
ASM é NP-completo. Para um conjunto fixo de vértices Steiner V ′ ⊆ V \
R, a melhor solução é a árvore geradora mínima sobre R ∪ V ′ . Portanto a
dificuldade é a seleção dos vértices Steiner da solução ótima. ♦
Definição 10.2
Os custos são métricos se eles satisfazem a desigualdade triangular, i.e.
para qualquer tripla de vértices i, j, k.
cij ≤ cik + ckj
Teorema 10.1
Existe um redução preservando a aproximação de ASM para a versão métrica
do problema.
Prova. O “fecho métrico” de G = (V, A) é um grafo G ′ completo sobre
vértices e com custos c ′ ij := dij, sendo dij o comprimento do menor caminho
entre i e j em G. Evidentemente c ′ ij ≤ cij é portanto (10.1) é satisfeita. Para
ver que (10.2) é satisfeita, seja T ′ uma solução de ASM em G ′ . Define T como
união de todos caminhos definidos pelos arcos em T ′ , menos um conjunto de
arcos para remover eventuais ciclos. O custo de T é no máximo c(T ′ ) porque
o custo de todo caminho é no máximo o custo da aresta correspondente em
T ′ .
Consequência: Para o problema do ASM é suficiente considerar o caso métrico.
Teorema 10.2
O AGM sobre R é uma 2-aproximação para o problema do ASM.
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