Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

10. Algoritmos de aproximação
(As notas seguem Vazirani [67].)
Um algoritmo de aproximação calcula uma solução aproximada para um problema
de otimização. Diferente de uma heurística, o algoritmo garante a
qualidade da aproximação no pior caso. Dado um problema e um algoritmo
de aproximação A, escrevemos A(x) = y para a solução aproximada
da instância x, ϕ(x, y) para o valor dessa solução, y ∗ para a solução ótimo e
OPT(x) = ϕ(x, y ∗ ) para o valor da solução ótima. Lembramos que uma aproximação
absoluta garante que D(x, y) = |OPT(x) − ϕ(x, y)| ≤ D para uma
constante D e todo x, enquanto uma aproximação relativa garante que o erro
relativo E(x, y) = D(x, y)/ max{OPT(x), ϕ(x, y)} ≤ E para uma constante E
e todos x.
Definição 10.1
Uma redução preservando a aproximação entre dois problemas de minimização
Π1 e Π2 consiste em um par de funções f e g (computáveis em tempo polinomial)
tal que para instância x1 de Π1, x2 := f(x1) é instância de Π2 com
OPTΠ2 (x2) ≤ OPTΠ1 (x1) (10.1)
e para uma solução y2 de Π2 temos uma solução y1 := g(x1, y2) de Π1 com
ϕΠ1(x1, y1) ≤ ϕΠ2(x2, y2) (10.2)
Uma redução preservando a aproximação fornece uma α-aproximação para Π1
dada uma α-aproximação para Π2, porque
ϕΠ1 (x1, y1) ≤ ϕΠ2 (x2, y2) ≤ αOPTΠ2 (x2) ≤ αOPTΠ1 (x1).
Observe que essa definição é somente para problemas de minimização. A
definição no caso de maximização é semelhante.
10.1. Aproximação para o problema da árvore de Steiner
mínima
Seja G = (V, A) um grafo completo, não-direcionado com custos ca ≥ 0 nos
arcos. O problema da árvore Steiner mínima (ASM) consiste em achar o
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