Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
5 M := M ⊕ P
6 end while
7 return M
Observação 9.11
O grafo HM de um emparelhamento extremo M não possui ciclo (par) negativo,
que seria uma contradição com a maximalidade de M. Portanto podemos
encontrar a caminho mínimo no passo 3 do algoritmo usando o algoritmo de
Bellman-Ford em tempo O(mn). Com isso a complexidade do algoritmo é
O(mn 2 ). ♦
Observação 9.12
Lembrando Bellman-Ford: Seja dk(t) a distância mínimo de qualquer caminho
de s para t usando no máximo k arcos ou ∞ caso não existe. Temos
dk+1(t) = min{dk(t), min
(u,t)∈A dk(u) + l(u, t)}.
Para ver que o algoritmo é correto, chama um emparelhamento M extremo
caso ele possui o maior peso entre todos emparelhamentos de tamanho |M|.
Teorema 9.12
Cada emparelhamento encontrado no algoritmo 9.3 é extremo.
Prova. Por indução. Para M = ∅ o teorema é correto. Seja M um emparelhamento
extremo, P o caminho aumentante encontrado pelo algoritmo 9.3
e N um emparelhamento de tamanho |M| + 1 arbitrário. Como |N| > |M|,
M ∪ N contém uma componente que é um caminho Q M-aumentante (por
um argumento similar com aquele da prova do teorema de Hopcroft-Karp 9.8).
Sabemos l(Q) ≥ l(P ) pela minimalidade de P . N ⊕ Q é um emparelhamento
de cardinalidade |M|, logo c(N ⊕ Q) ≤ c(M). Com isso temos
w(N) = w(N ⊕ Q) − l(Q) ≤ w(M) − l(P ) = w(M ⊕ P ).
Proposição 9.1
Caso não existe caminho M-aumentante com comprimento negativo no algoritmo
9.3, M é máximo.
226
♦