Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
2. O início e termino de Q é livre em M: eles não pertencem a P , porque
são livres em M ′ .
3. Nenhum outro vértice de P ou Q é livre em relação a M: P só contém
dois vértices livres e Q só contém dois vértices livres em Q mas não em
P .
4. Temos dois caminhos M-aumentantes, começando com um vértice livre
em Q e terminando com um vértice livre em P . O caminho em Q \ P é
M-alternante, porque as arestas livres em M ′ são exatamente as arestas
livres em M. O caminho Q entra em P sempre após uma aresta livre
em M, porque o primeiro vértice em P já é emparelhado em M e sai
de P sempre antes de uma aresta livre em M, porque o último vértice
em P já é emparelhado. Portanto os dois caminhos em P ⊕ Q são Maumentantes.
Os dois caminhos M-aumentantes em P ⊕ Q tem que ser maiores que |P |.
Com isso temos |P ⊕ Q| ≥ 2|P | e
|Q| = |P ⊕ Q| + 2|P ∩ Q ⊢ |P | ≥ |P | + 2|P ∩ Q|.
Prova. (do lema 9.14). Seja S o conjunto de caminhos M-aumentantes
da fase anterior, e P um caminho aumentante. Caso P é disjunto de todos
caminhos em S, ele deve ser mais comprido, porque S é um conjunto máximo
de caminhos aumentantes. Caso P possui um vértice em comum com algum
caminho em S, ele possui também um arco em comum (por quê?) e podemos
aplicar lema 9.16.
Prova. (do lema 9.15). Seja M ∗ um emparelhamento máximo e M o emparelhamento
obtido após de √ n/2 fases. O comprimento de qualquer caminho
M-aumentante é no mínimo √ n, pelo lema 9.14. Pelo teorema 9.8
existem ao menos |M ∗ ⊢ |M| caminhos M-aumentantes disjuntos. Mas então
|M ∗ ⊢ |M| ≤ √ n, porque no caso contrário eles possuem mais que n vértices
em total. Como o emparelhamento cresce ao menos um em cada fase, o algoritmo
executar no máximo mais √ n fases. Portanto, o número total de fases
é O( √ n).
O algoritmo de Hopcroft-Karp é o melhor algoritmo conhecido para encontrar
emparelhamentos máximos em grafos bipartidos não-ponderados 1 . Para subclasses
de grafos bipartidos existem algoritmos melhores. Por exemplo, existe
um algoritmo randomizado para grafos bipartidos regulares com complexidade
de tempo esperado O(n log n) [30].
1 Feder e Motwani [23, 24] melhoraram o algoritmo para O( √ nm(2 − logn m)).
222