Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
Rascunho de um algoritmo:
Algoritmo 9.2 (Emparelhamento máximo)
Entrada Grafo não-direcionado G = (V, E).
Saída Um emparelhamento máximo M.
1 M = ∅
2 while ( e x i s t e um caminho M aumentante P ) do
3 M := M ⊕ P
4 end while
5 return M
Problema: como achar caminhos M-aumentantes de forma eficiente?
Observação 9.6
Um caminho M-aumentante começa num vértice livre em V1 e termina num
vértice livre em V2. Idéia: Começa uma busca por largura com todos vértices
livres em V1. Segue alternadamente arcos livres em M para encontrar vizinhos
em V2 e arcos em M, para encontrar vizinhos em V1. A busca para ao encontrar
um vértice livre em V2 ou após de visitar todos vértices. Ela tem complexidade
O(m). ♦
Teorema 9.9
O problema do emparelhamento máximo não-ponderado em grafos bi-partidos
pode ser resolvido em tempo O(mn).
Prova. Última observação e o fato que o emparelhamento máximo tem tamanho
O(n).
Observação 9.7
O último teorema é o mesmo que teorema (9.6). ♦
Observação 9.8
Pelo teorema (9.8) sabemos que em geral existem vários caminhos M-alternantes
disjuntos (de vértices) e nos podemos aumentar M com todos eles em paralelo.
Portanto, estruturamos o algoritmo em fases: cada fase procura um conjunto
de caminhos aumentantes disjuntos e aplicá-los para obter um novo emparelhamento.
Observe que pelo teorema (9.8) um aumento com o maior conjunto
de caminhos M-alternantes disjuntos resolve o problema imediatamente, mas
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