Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9.2. Emparelhamentos
V1 e V2 com fluxo 1. Não existe vértice com grau 2, pela conservação de fluxo.
Portanto, os arcos formam um emparelhamento cuja cardinalidade é o valor
do fluxo.
Solução não-ponderado combinatorial Um caminho P = v1v2v3 . . . vk é
alternante em relação a M (ou M-alternante) se vivi+1 ∈ M sse vi+1vi+2 ∈ M
para todos 1 ≤ i ≤ k − 2. Um vértice v ∈ V é livre em relação a M se ele
tem grau 0 em M, e emparelhado caso contrário. Um arco e ∈ E é livre em
relação a M, se e ∈ M, e emparelhado caso contrário. Escrevemos |P |= k − 1
pelo comprimento do caminho P .
Observação 9.5
Caso temos um caminho P = v1v2v3 . . . v2k+1 que é M-alternante com v1 é
v2k+1 livre, podemos obter um emparelhamento M \ (P ∩ M) ∪ (P \ M) de
tamanho |M ⊢ k + (k − 1) = |M| + 1. Notação: Diferença simétrica M ⊕ P =
(M \ P ) ∪ (P \ M). A operação M ⊕ P é um aumento do emparelhamento
M. ♦
Teorema 9.8 (Hopcroft e Karp [38])
Seja M ∗ um emparelhamento máximo e M um emparelhamento arbitrário. O
conjunto M ⊕M ∗ contém ao menos k = |M ∗ ⊢ |M| caminhos M-aumentantes
disjuntos (de vértices). Um deles possui comprimento menor que |V |/k − 1.
Prova. Considere os componentes de G em relação aos arcos M := M ⊕
M ∗ . Cada vértice possui no máximo grau 2. Portanto, cada componente
é ou um vértice livre, ou um caminhos simples ou um ciclo. Os caminhos
e ciclos possuem alternadamente arcos de M e M ∗ . Portanto os ciclos tem
comprimento par. Os caminhos de comprimento impar são ou M-aumentantes
ou M ∗ -aumentantes, mas o segundo caso é impossível, porque M ∗ é máximo.
Agora
|M ∗ \ M |= |M ∗ ⊢ |M ∗ ∩ M |= |M ⊢ |M ∗ ∩ M| + k = |M \ M ∗ | + k
e portanto M ⊕ M ∗ contém k arcos mais de M ∗ que de M. Isso mostra que
existem ao menos |M ∗ ⊢ |M| caminhos M-aumentantes, porque somente os
caminhos de comprimento impar possuem exatamente um arco mais de M ∗ .
Ao menos um desses caminhos tem que ter um comprimento menor ou igual
que |V |/k − 1, porque no caso contrário eles contém em total mais que |V |
vértices.
Corolário 9.1 (Berge [9])
Um emparelhamento é máximo sse não existe um caminho M-aumentante.
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