Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar
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9. Algoritmos em grafos Figura 9.8.: Esquerda: Polígono ortogonal com vértices de reflexo (pontos) e cordas (pontilhadas). Direita: grafo de intersecção. s t Figura 9.9.: Redução do problema de emparelhamento máximo para o problema do fluxo máximo Prova. Introduz dois vértices s, t, liga s para todos vértices em V1, os vértices em V1 com vértices em V2 e os vértices em V2 com t, com todos os pesos unitários. Aplica o algoritmo de Ford-Fulkerson para obter um fluxo máximo. O número de aumentos é limitado por n, cada busca tem complexidade O(m), portanto o algoritmo de Ford-Fulkerson termina em tempo O(mn). Teorema 9.7 O valor do fluxo máximo é igual a cardinalidade de um emparelhamento máximo. Prova. Dado um emparelhamento máximo M = {v11v21, . . . , v1nv2n}, podemos construir um fluxo com arcos sv1i, v1iv2i e v2it com valor |M|. Dado um fluxo máximo, existe um fluxo integral equivalente (veja lema (9.3)). Na construção acima os arcos possuem fluxo 0 ou 1. Escolhe todos arcos entre 218
9.2. Emparelhamentos V1 e V2 com fluxo 1. Não existe vértice com grau 2, pela conservação de fluxo. Portanto, os arcos formam um emparelhamento cuja cardinalidade é o valor do fluxo. Solução não-ponderado combinatorial Um caminho P = v1v2v3 . . . vk é alternante em relação a M (ou M-alternante) se vivi+1 ∈ M sse vi+1vi+2 ∈ M para todos 1 ≤ i ≤ k − 2. Um vértice v ∈ V é livre em relação a M se ele tem grau 0 em M, e emparelhado caso contrário. Um arco e ∈ E é livre em relação a M, se e ∈ M, e emparelhado caso contrário. Escrevemos |P |= k − 1 pelo comprimento do caminho P . Observação 9.5 Caso temos um caminho P = v1v2v3 . . . v2k+1 que é M-alternante com v1 é v2k+1 livre, podemos obter um emparelhamento M \ (P ∩ M) ∪ (P \ M) de tamanho |M ⊢ k + (k − 1) = |M| + 1. Notação: Diferença simétrica M ⊕ P = (M \ P ) ∪ (P \ M). A operação M ⊕ P é um aumento do emparelhamento M. ♦ Teorema 9.8 (Hopcroft e Karp [38]) Seja M ∗ um emparelhamento máximo e M um emparelhamento arbitrário. O conjunto M ⊕M ∗ contém ao menos k = |M ∗ ⊢ |M| caminhos M-aumentantes disjuntos (de vértices). Um deles possui comprimento menor que |V |/k − 1. Prova. Considere os componentes de G em relação aos arcos M := M ⊕ M ∗ . Cada vértice possui no máximo grau 2. Portanto, cada componente é ou um vértice livre, ou um caminhos simples ou um ciclo. Os caminhos e ciclos possuem alternadamente arcos de M e M ∗ . Portanto os ciclos tem comprimento par. Os caminhos de comprimento impar são ou M-aumentantes ou M ∗ -aumentantes, mas o segundo caso é impossível, porque M ∗ é máximo. Agora |M ∗ \ M |= |M ∗ ⊢ |M ∗ ∩ M |= |M ⊢ |M ∗ ∩ M| + k = |M \ M ∗ | + k e portanto M ⊕ M ∗ contém k arcos mais de M ∗ que de M. Isso mostra que existem ao menos |M ∗ ⊢ |M| caminhos M-aumentantes, porque somente os caminhos de comprimento impar possuem exatamente um arco mais de M ∗ . Ao menos um desses caminhos tem que ter um comprimento menor ou igual que |V |/k − 1, porque no caso contrário eles contém em total mais que |V | vértices. Corolário 9.1 (Berge [9]) Um emparelhamento é máximo sse não existe um caminho M-aumentante. 219
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9. <strong>Algoritmos</strong> em grafos<br />
Figura 9.8.: Esquerda: Polígono ortogonal com vértices <strong>de</strong> reflexo (pontos) e<br />
cordas (pontilhadas). Direita: grafo <strong>de</strong> intersecção.<br />
s t<br />
Figura 9.9.: Redução do problema <strong>de</strong> emparelhamento máximo para o problema<br />
do fluxo máximo<br />
Prova. Introduz dois vértices s, t, liga s para todos vértices em V1, os vértices<br />
em V1 com vértices em V2 e os vértices em V2 com t, com todos os pesos<br />
unitários. Aplica o algoritmo <strong>de</strong> Ford-Fulkerson para obter um fluxo máximo.<br />
O número <strong>de</strong> aumentos é limitado por n, cada busca tem <strong>complexida<strong>de</strong></strong> O(m),<br />
portanto o algoritmo <strong>de</strong> Ford-Fulkerson termina em tempo O(mn). <br />
Teorema 9.7<br />
O valor do fluxo máximo é igual a cardinalida<strong>de</strong> <strong>de</strong> um emparelhamento<br />
máximo.<br />
Prova. Dado um emparelhamento máximo M = {v11v21, . . . , v1nv2n}, po<strong>de</strong>mos<br />
construir um fluxo com arcos sv1i, v1iv2i e v2it com valor |M|.<br />
Dado um fluxo máximo, existe um fluxo integral equivalente (veja lema (9.3)).<br />
Na construção acima os arcos possuem fluxo 0 ou 1. Escolhe todos arcos entre<br />
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