Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9.2. Emparelhamentos
Teorema 9.4 (Berge, 1951)
Em grafos bi-partidos o tamanho da menor cobertura por vértices é igual ao
tamanho do emparelhamento máximo.
9.2.1. Aplicações
Alocação de tarefas Queremos alocar n tarefas a n trabalhadores, tal que
cada tarefa é executada, e cada trabalhador executa uma tarefa. O custos de
execução dependem do trabalhar e da tarefa. Isso pode ser resolvido como
problema de emparelhamento perfeito mínimo.
Particionamento de polígonos ortogonais
Teorema 9.5
[58, cap. 11,th. 1] Um polígono ortogonal com n vértices de reflexo (ingl. reflex
vertex, i.e., com ângulo interno maior que π), h buracos (ingl. holes) pode ser
minimalmente particionado em n − l − h + 1 retângulos. A variável l é o
número máximo de cordas (diagonais) horizontais ou verticais entre vértices
de reflexo sem intersecção.
O número l é o tamanho do conjunto independente máximo no grafo de intersecção
das cordas: cada corda é representada por um vértice, e uma aresta
representa a duas cordas com interseção. Um conjunto independente máximo
é o complemento de uma cobertura por vértices mínima, o problema dual
(9.15) de um emparelhamento máximo. Portanto, o tamanho de um emparelhamento
máximo é igual n − h. Podemos obter o conjunto independente
que procuramos usando “a metade” do emparelhamento (os vértices de uma
parte só) e os vértices não emparelhados. Podemos achar o emparelhamento
em tempo O(n 5/2 ) usando o algoritmo de Hopcroft-Karp, porque o grafo de
intersecção é bi-partido (por quê?).
9.2.2. Grafos bi-partidos
Na formulação como programa inteira a solução do caso bi-partido é mais fácil.
Isso também é o caso para algoritmos combinatoriais, e portanto começamos
estudar grafos bi-partidos.
Redução para o problema do fluxo máximo
Teorema 9.6
Um EM em grafos bi-partidos pode ser obtido em tempo O(mn).
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