Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Objetivo Minimiza o valor c(M) de M.
9.2. Emparelhamentos
Observe que os pesos em todos problemas podem ser negativos. O problema de
encontrar um emparelhamento de peso mínimo em G = (V, E, c) é equivalente
com EPM em −G := (V, E, −c) (por quê?). Até EPPM pode ser reduzido
para EPM.
Teorema 9.3
EPM e EPPM são problemas equivalentes.
Prova. Seja G = (V, E, c) uma instância de EPM. Define um conjunto de
vértices V ′ que contém V e mais |V | novos vértices e um grafo completo
G ′ = (V ′ , V ′ × V ′ , c ′ ) com
c ′ e =
−ce caso e ∈ E
0 caso contrário .
Dado um emparelhamento M em G podemos definir um emparelhamento perfeito
M ′ em G ′ : M ′ inclui todas arestas em M. Além disso, um vértice em
V não emparelhado em M será emparelhado com o novo vértice correspondente
em V ′ com uma aresta de custo 0 em M ′ . Similarmente, os restantes
vértices não emparelhados em V ′ são emparelhados em M ′ com arestas de
custo 0 entre si. Pela construção, o valor de M ′ é c ′ (M ′ ) = −c(M). Dado
um emparelhamento M ′ em G ′ podemos obter um emparelhamento M em G
com valor −c(M ′ ) removendo as arestas que não pertencem a G. Portanto,
um EPPM em G ′ é um EPM em G.
Conversamente, seja G = (V, E, c) uma instância de EPPM. Define C :=
1 +
e∈E |ce|, novos pesos c ′ e = C − ce e um grafo G ′ = (V, E, c ′ ). Para
emparelhamentos M1 e M2 arbitrários temos
c(M2) − c(M1) ≤
ce −
ce =
|ce| < C.
e∈E
ce>0
e∈E
ce