Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

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9. Algoritmos em grafos • Cada cliente i recebe ao menos ci perguntas (para obter informação suficiente) mas no máximo c ′ i perguntas (para não cansar ele). As perguntas podem ser feitas somente sobre produtos que o cliente já comprou. • Para obter informações suficientes sobre um produto, entre pi e p ′ i clientes tem que ser interrogados sobre ele. Um modelo é um grafo bi-partido entre clientes e produtos, com aresta (ci, pj) caso cliente i já comprou produto j. O fluxo de cada aresta possui limite inferior 0 e limite superior 1. Para representar os limites de perguntas por produto e por cliente, introduziremos ainda dois vértices s, e t, com arestas (s, ci) com fluxo entre ci e c ′ i e arestas (pj, t) com fluxo entre pj e p ′ j e uma aresta (t, s). Segmentação de imagens O objetivo é segmentar um imagem em duas partes, por exemplo “foreground” e “background”. Supondo que temos uma “probabilidade” ai de pertencer ao “foreground” e outra “probabilidade” de pertencer ao “background” bi para cada pixel i, uma abordagem direta é definir que pixels com ai > bi são “foreground” e os outros “background”. Um exemplo pode ser visto na Fig. 9.7 (b). A desvantagem dessa abordagem é que a separação ignora o contexto de um pixel. Um pixel, “foreground” com todos pixel adjacentes em “background” provavelmente pertence ao “background” também. Portanto obtemos um modelo melhor introduzindo penalidades pij para separar (atribuir à categorias diferentes) pixel adjacentes i e j. Um partição do conjunto de todos pixels I em A . ∪ B tem um valor de q(A, B) = ai + bi − i∈A i∈B (i,j)∈A×B nesse modelo, e o nosso objetivo é achar uma partição que maximiza q(A, B). Isso é equivalente a minimizar Q(A, B) = ai + bi − ai − bi + i∈I i∈A i∈B = ai + bi + i∈B i∈A (i,j)∈A×B pij (i,j)∈A×B A solução mínima de Q(A, B) pode ser visto como corte mínimo num grafo. O grafo possui um vértice para cada pixel e uma aresta com capacidade pij entre dois pixels adjacentes i e j. Ele possui ainda dois vértices adicionais s e t, arestas (s, i) com capacidade ai para cada pixel i e arestas (i, t) com capacidade bi para cada pixel i (ver Fig. 9.6). 210 pij. pij
s 30 19 12 i 10 10 j 10 10 10 1010 20 k 10 10 l 15 16 25 t 9.1. Fluxos em redes i j k l a 30 19 12 10 b 20 15 16 25 Figura 9.6.: Exemplo da construção para uma imagem 2 × 2. Direita: Tabela com valores pele/não-pele. Esquerda: Grafo com penalidade fixa pij = 10. Figura 9.7.: Segmentação de imagens com diferentes penalidades p. Acima: (a) Imagem original (b) Segmentação somente com probabilidades (p = 0) (c) p = 1000 (d) p = 10000. Abaixo: (a) Walter Gramatté, Selbstbildnis mit rotem Mond, 1926 (b) Segmentação com p = 5000. A probabilidade de um pixel representar pele foi determinado conforme Jones e Rehg [39]. 211
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Bibliografia [15] Thomas H. Cormen
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