Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
• Cada cliente i recebe ao menos ci perguntas (para obter informação suficiente)
mas no máximo c ′ i perguntas (para não cansar ele). As perguntas
podem ser feitas somente sobre produtos que o cliente já comprou.
• Para obter informações suficientes sobre um produto, entre pi e p ′ i clientes
tem que ser interrogados sobre ele.
Um modelo é um grafo bi-partido entre clientes e produtos, com aresta (ci, pj)
caso cliente i já comprou produto j. O fluxo de cada aresta possui limite
inferior 0 e limite superior 1. Para representar os limites de perguntas por
produto e por cliente, introduziremos ainda dois vértices s, e t, com arestas
(s, ci) com fluxo entre ci e c ′ i e arestas (pj, t) com fluxo entre pj e p ′ j e uma
aresta (t, s).
Segmentação de imagens O objetivo é segmentar um imagem em duas
partes, por exemplo “foreground” e “background”. Supondo que temos uma
“probabilidade” ai de pertencer ao “foreground” e outra “probabilidade” de
pertencer ao “background” bi para cada pixel i, uma abordagem direta é
definir que pixels com ai > bi são “foreground” e os outros “background”. Um
exemplo pode ser visto na Fig. 9.7 (b). A desvantagem dessa abordagem é que
a separação ignora o contexto de um pixel. Um pixel, “foreground” com todos
pixel adjacentes em “background” provavelmente pertence ao “background”
também. Portanto obtemos um modelo melhor introduzindo penalidades pij
para separar (atribuir à categorias diferentes) pixel adjacentes i e j. Um
partição do conjunto de todos pixels I em A . ∪ B tem um valor de
q(A, B) =
ai +
bi −
i∈A
i∈B
(i,j)∈A×B
nesse modelo, e o nosso objetivo é achar uma partição que maximiza q(A, B).
Isso é equivalente a minimizar
Q(A, B) =
ai + bi −
ai −
bi +
i∈I
i∈A
i∈B
=
ai +
bi +
i∈B
i∈A
(i,j)∈A×B
pij
(i,j)∈A×B
A solução mínima de Q(A, B) pode ser visto como corte mínimo num grafo.
O grafo possui um vértice para cada pixel e uma aresta com capacidade pij
entre dois pixels adjacentes i e j. Ele possui ainda dois vértices adicionais
s e t, arestas (s, i) com capacidade ai para cada pixel i e arestas (i, t) com
capacidade bi para cada pixel i (ver Fig. 9.6).
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pij.
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