Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
Limites inferiores Para G = (V, E, b, c) com limites inferiores b : E → R
considere o problema
maximiza f(s)
sujeito a f(v) = 0 ∀v ∈ V \ {s, t} (9.5)
be ≤ fe ≤ ce
e ∈ E.
O problema (9.5) pode ser reduzido para um problema de fluxo máximo simples
em G ′ = (V ′ , E ′ , c ′ ) (veja Fig. 9.5(b)) com
V ′ = V
E ′ = E ∪ {(v, t) | (v, u) ∈ E} ∪ {(s, u) | (v, u) ∈ E} (9.6)
c ′ ⎧
⎪⎨ ce − be e ∈ E
e = b (v,u)
⎪⎩
e = (v, t)
e = (s, u)
b (v,u)
Lema 9.11
Problema (9.5) possui uma viável sse (9.6) possui uma solução máxima com
todos arcos auxiliares E ′ \ E saturados. Neste caso, se f é um fluxo máximo
em (9.5),
f ′ ⎧
⎪⎨ fe − be e ∈ E
e = bf e = (v, t) criado por f = (v, u)
⎪⎩
e = (s, u) criado por f = (v, u)
bf
é um fluxo máximo de (9.6) com arcos auxiliares saturados. Conversamente,
se f ′ é um fluxo máximo para (9.6) com arcos auxiliares saturados, fe = f ′ e+be
é um fluxo máximo em (9.5).
Prova. (Exercício.)
Existência de uma circulação Para G = (V, E, c) com demandas dv, com
dv > 0 para destinos e dv < 0 para fontes, considere
existe f
s.a f(v) = −dv ∀v ∈ V (9.7)
fe ≤ ce
e ∈ E.
Evidentemente
v∈V dv = 0 é uma condição necessária (lema (9.1)). O
problema (9.7) pode ser reduzido para um problema de fluxo máximo em
G ′ = (V ′ , E ′ ) com
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