Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9.1. Fluxos em redes
Figura 9.5.: Reduções entre variações do problema do fluxo máximo. Esquerda:
Fontes e destinos múltiplos. Direita: Limite inferior e
superior para a capacidade de arcos.
O problema (9.3) pode ser reduzido para um problema de fluxo máximo simples
em G ′ = (V ′ , E ′ , c ′ ) (veja Fig. 9.5(a)) com
V ′ = V ∪ {s ∗ , t ∗ }
E ′ = E ∪ {(s ∗ , s) | s ∈ S} ∪ {(t, t ∗ ) | t ∈ T } (9.4)
c ′ e =
⎧
⎪⎨ ce
c({s},
⎪⎩
e ∈ E
¯ {s}) e = (s∗ c(
, s)
¯ {t}, {t}) e = (t, t∗ )
Lema 9.10
Se f ′ é solução máxima de (9.4), f = f ′ |E é uma solução máxima de (9.3).
Conversamente, se f é uma solução máxima de (9.3),
f ′ e =
é uma solução máxima de (9.4).
⎧
⎪⎨ fe e ∈ E
f(s)
⎪⎩
e = (s∗ −f(t)
, s)
e = (t, t∗ )
Prova. Supõe f é solução máxima de (9.3). Seja f ′ uma solução de (9.4)
com valor f ′ (s ∗ ) maior. Então f ′ |E é um fluxo válido para (9.3) com solução
f ′ |E(S) = f ′ (s ∗ ) maior, uma contradição.
Conversamente, para cada fluxo válido f em G, a extensão f ′ definida acima
é um fluxo válido em G ′ com o mesmo valor. Portanto o valor do maior fluxo
em G ′ é maior ou igual ao valor do maior fluxo em G.
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