Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
N
s
N
v
u
1
N
N
t
s
M
Figura 9.4.: Esquerda: Pior caso para o algoritmo de Ford-Fulkerson com pesos
inteiros aumentando o fluxo por 2N vezes por 1 nos caminhos
(s, u, v, t) e (s, v, u, t). Direita: Menor grafo com pesos irracionais
em que o algoritmo de Ford-Fulkerson falha [73]. M ≥ 3, e r =
(1 + √ 1 − 4λ)/2 com λ ≈ 0.217 a única raiz real de 1 − 5x + 2x 2 −
x 3 . Aumentar (s, v1, v4, t) e depois repetidamente (s, v2, v4, v1, v3, t),
(s, v2, v3, v1, v4, t), (s, v1, v3, v2, v4, t), e (s, v1, v4, v2, v3, t) converge para
o fluxo máximo 2 + r + r 2 sem terminar.
Teorema 9.2
O algoritmo de Edmonds-Karp precisa O(nm) iterações, e portanto termina
em O(nm 2 ).
Lema 9.9
Seja δf (v) a distância entre s e v em Gf . Durante a execução do algoritmo
de Edmonds-Karp δf (v) cresce monotonicamente para todos vértices em V .
Prova. Para v = s o lema é evidente. Supõe que uma iteração modificando o
fluxo f para f ′ diminuirá o valor de um vértice v ∈ V \{s}, i.e., δf (v) > δf ′(v).
Supõe ainda que v é o vértice de menor distância δf ′(v) em Gf ′ com essa
característica. Seja P = (s, . . . , u, v) um caminho mais curto de s para v
em Gf ′. O valor de u não diminuiu nessa iteração (pela escolha de v), i.e.,
δf (u) ≤ δf ′(u) (*).
O arco (u, v) não existe in Gf , senão a distãncia do v in Gf é no máximo a
distância do v in Gf ′: Supondo (u, v) ∈ E(Gf ) temos
δf (v) ≤ δf (u) + 1 pela desigualdade triangular
≤ δf ′(u) + 1 (*)
≤ δf ′(v) porque uv está num caminho mínimo em Gf ′,
uma contradição com a hipótese que a distância de v diminuiu. Portanto,
(u, v) ∈ E(Gf ) mas (u, v) ∈ E(Gf ′). Isso só é possível se o fluxo de v para u
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M
v2
v1
r 2
1
r
v4
1
v3
M
M
t