Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

Prova. Seja f um fluxo s–t. Temos
9.1. Fluxos em redes
f(s) = f(X) = f(X,¯X) − f(¯X, X) ≤ f(X,¯X) ≤ c(X,¯X).
Consequência: O fluxo máximo é menor ou igual a o corte mínimo. De fato,
a relação entre o fluxo máximo e o corte mínimo é mais forte:
Teorema 9.1 (Fluxo máximo – corte mínimo)
O valor do fluxo máximo entre dois vértices s e t é igual a do corte mínimo.
Lema 9.8
Quando o algoritmo de Ford-Fulkerson termina, o valor do fluxo é máximo.
Prova. O algoritmo termina se não existe um caminho entre s e t em Gf . Podemos
definir um corte (X, ¯ X), tal que X é o conjunto de vértices alcançáveis
em Gf a partir de s. Qual o valor do fluxo nos arcos entre X e ¯ X? Para um
arco e ∈ F (X, ¯ X) temos fe = ce, senão Gf terá um arco “forward” e, uma
contradição. Para um arco e = (u, v) ∈ F (¯X, X) temos fe = 0, senão Gf terá
um arco “backward” e ′ = (v, u), uma contradição. Logo
f(s) = f(X) = f(X,¯X) − f(¯X, X) = f(X,¯X) = c(X,¯X).
Pelo lema 9.7, o valor de um fluxo arbitrário é menor ou igual que c(X, ¯ X),
portanto f é um fluxo máximo.
Prova. (Do teorema 9.1) Pela análise do algoritmo de Ford-Fulkerson.
Desvantagens do algoritmo de Ford-Fulkerson O algoritmo de Ford-Fulkerson
tem duas desvantagens:
1. O número de iterações C pode ser alto, e existem grafos em que C
iterações são necessárias (veja Fig. 9.4). Além disso, o algoritmo com
complexidade O((n + m)C) é somente pseudo-polinomial.
2.
É possível que o algoritmo não termina para capacidades reais (veja
Fig. 9.4). Usando uma busca por profundidade para achar caminhos s–t
ele termina, mas é ineficiente [17].
9.1.2. O algoritmo de Edmonds-Karp
O algoritmo de Edmonds-Karp elimina esses problemas. O princípio dele é
simples: Para achar um caminho s–t simples, usa busca por largura, i.e. selecione
o caminho mais curto entre s e t. Nos temos (sem prova)
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