Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9.1. Fluxos em redes
A circulação vira um fluxo, se o grafo possui alguns vértices que são fontes
ou destinos de fluxo, e portanto não satisfazem a conservação de fluxo. Um
fluxo s–t possui um único fonte s e um único destino t. Um objetivo comum
(transporte, etc.) é achar um fluxo s–t máximo.
Fluxo s–t máximo
Instância Grafo direcionado G = (V, E, c) com capacidades c nos arcos,
um vértice origem s ∈ V e um vértice destino t ∈ V .
Solução Um fluxo f, com f(v) = 0, ∀v ∈ V \ {s, t}.
Objetivo Maximizar o fluxo f(s).
Lema 9.2
Um fluxo s–t satisfaz f(s) + f(t) = 0.
Prova. Pelo lema 9.1 temos
v∈V f(v) = 0. Mas v∈V f(v) = f(s) + f(t)
pela conservação de fluxo nos vértices em V \ {s, t}.
Uma formulação como programa linear é
maximiza f(s) (9.2)
sujeito a f(v) = 0 ∀v ∈ V \ {s, t}
0 ≤ fe ≤ ce
∀e ∈ E.
Observação 9.1
O programa (9.2) possui uma solução, porque fe = 0 é uma solução viável. O
sistema não é ilimitado, porque todas variáveis são limitadas, e por isso possui
uma solução ótima. O problema de encontrar um fluxo s–t máximo pode ser
resolvido em tempo polinomial via programação linear. ♦
9.1.1. Algoritmo de Ford-Fulkerson
Nosso objetivo: Achar um algoritmo combinatorial mais eficiente. Idéia
básica: Começar com um fluxo viável fe = 0 e aumentar ele gradualmente.
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