Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

9. Algoritmos em grafos
Figura 9.1.: Grafo (esquerda) com circulação (direita)
9.1. Fluxos em redes
Definição 9.1
Para um grafo direcionado G = (V, E) (E ⊆ V × V ) escrevemos δ + (v) =
{(v, u) | (v, u) ∈ E} para os arcos saintes de v e δ − (v) = {(u, v) | (u, v) ∈ E}
para os arcos entrantes em v.
Seja G = (V, E, c) um grafo direcionado e capacitado com capacidades c :
E → R nos arcos. Uma atribuição de fluxos aos arcos f : E → R em G se
chama circulação, se os fluxos respeitam os limites da capacidade (fe ≤ ce) e
satisfazem a conservação do fluxo
f(v) :=
fe −
fe = 0 (9.1)
(ver Fig. 9.1).
e∈δ + (v)
e∈δ − (v)
Lema 9.1
Qualquer atribuição de fluxos f satisfaz
v∈V f(v) = 0.
Prova.
198
f(v) =
v∈V
v∈V e∈δ + (v)
=
(v,u)∈E
fe −
e∈δ − (v)
f (v,u) −
(u,v)∈E
fe
f (u,v) = 0