Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

8.4. Esquemas de aproximação
Prova. A complexidade da preparação nas linhas 1–3 é O(n). A chamada
para MM-PD custa
O n
v
i
′
i = O n
vi
((r − 1)/r)(vmax/n)
i
r
r
= O n2 vi/vmax = O
r − 1 r − 1 n3
.
Seja S = MM-PTAS(I) a solução obtida pelo algoritmo e S∗ uma solução
ótima.
ϕMM-PTAS(I, S) =
vi ≥
2 t vi/2 t
definição de ⌊·⌋
Portanto
i∈S
i∈S
≥
2 t vi/2 t
i∈S ∗
≥
i∈S ∗
=
i∈S ∗
vi − 2 t
vi
≥ OPT(I) − 2 t n
i
− 2 t |S ∗ |
otimalidade de MM-PD sobre v ′ i
(A.10)
OPT(I) ≤ ϕMM-PTAS(I, S) + 2 t n ≤ ϕMM-PTAS(I, S) + OPT(x)
2
vmax
t n
⇐⇒ OPT(I) 1 − 2t
n
≤ ϕMM-PTAS(I, S)
vmax
e com 2 t n/vmax ≤ (r − 1)/r
⇐⇒ OPT(I) ≤ rϕMM-PTAS(I, S).
Considerações finais Um EATP frequentemente não é suficiente para resolver
um problema adequadamente. Por exemplo temos um EATP para
• o problema do caixeiro viajante euclidiano com complexidade O(n 3000/ɛ )
(Arora, 1996);
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