Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

• Programação dinâmica
• Algoritmos seqüenciais (“online”), p.ex. para particionamento.
Exemplo 8.1
Sequenciamento em processores paralelos
8.1. Introdução
Entrada m processadores, n tarefas com tempo de execução li, 1 ≤ i ≤ n.
Solução Um sequenciamento S : [n] → [m], i.e., uma alocação das tarefas
às máquinas.
Objetivo Minimizar
o makespan (tempo terminal)
maxj∈[m] i∈n|S(i)=j li.
O problema é NP-completo. Seja W =
i∈n li o tempo total (workload).
Sabemos que S ∗ ≥ W/m e também que S ∗ ≥ li, 1 ≤ i ≤ n.
Uma classe de algoritmos gulosos para este problema são os algoritmos de
sequenciamento em lista (inglês: list scheduling). Eles processam as tarefas
em alguma ordem, e alocam a tarefa atual sempre à máquina com menor
tempo final.
Proposição 8.3
Sequenciamento em lista com ordem arbitrária é uma 2 − 1/m-aproximação.
Prova. Seja h ∈ [m] a máquina que define o makespan da solução gulosa, e
k ∈ [n] a última tarefa alocada à essa máquina. No momento em que essa
tarefa foi alocada, todas as outras máquinas estavam com tempo ao menos
i:S(i)=h li − lk, portanto
⎛
m ⎝
i:S(i)=h
li − lk
⎞
⎠ + lk ≤ W
i:S(i)=h
li ≤ (W + (p − 1)lk)/p
≤ OPT + p/(p − 1)OPT = (2 − 1/p)OPT
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