Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

8. Algoritmos de aproximação
Exemplo: Cobertura por vértices gulosa
Algoritmo 8.1 (Cobertura por vértices)
Entrada Grafo não-direcionado G = (V, E).
Saída Cobertura por vértices C ⊆ V .
1 VC GV(G) :=
2 (C, G) := Reduz (G)
3 i f V = ∅ then
4 return C
5 else
6 e s c o l h e v ∈ V : deg(v) = ∆(G) { grau máximo }
7 return C ∪ {v} ∪ VC-GV(G − v)
8 end i f
Proposição 8.1
O algoritmo VC-GV é uma O(log |V |)-aproximação.
Prova. Seja Gi o grafo depois da iteração i e C ∗ uma cobertura ótima, i.e.,
|C ∗ | = OPT(G).
A cobertura ótima C ∗ é uma cobertura para Gi também. Logo, a soma dos
graus dos vértices em C ∗ (contando somente arestas em Gi!) ultrapassa o
número de arestas em Gi
v∈C ∗
δGi (v) ≥ Gi
e o grau médio dos vértices em Gi satisfaz
¯δGi(Gi)
v∈C∗ δGi(v)
=
|C∗ ≥
|
Gi
|C∗ Gi
=
| OPT(G) .
Como o grau máximo é maior que o grau médio temos também
Com isso podemos estimar
∆(Gi) ≥
180
0≤i