Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

8. Algoritmos de aproximação
Classes de complexidade
• PO: Problemas de otimização com algoritmo polinomial.
• NPO: Problemas de otimização tal que
1. Instâncias reconhecíveis em tempo polinomial.
2. A relação P é polinomialmente limita.
3. Para y arbitrário, polinomialmente limitado: (x, y) ∈ P decidível
em tempo polinomial.
4. ϕ é computável em tempo polinomial.
• NPO contém todos problemas de otimização, que satisfazem critérios
mínimos de tratabilidade.
Lembrança (veja definição 13.1): P é polinomialmente limitada, se para soluções
(x, y) ∈ P temos |y| ≤ p(|x|), para um polinômio p.
Motivação
• Para vários problemas não conhecemos um algoritmo eficiente.
• No caso dos problemas NP-completos: solução eficiente é pouco provável.
• O quer fazer?
• Idéia: Para problemas da otimização, não busca o ótimo.
• Uma solução “quase” ótimo também ajuda.
O que é “quase”? Aproximação absoluta
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• A solução encontrada difere da solução ótima ao máximo um valor constante.
• Erro absoluto:
D(x, y) = |OPT(x) − ϕ(x, y)|
• Aproximação absoluta: Algoritmo garante um y tal que D(x, y) ≤ k.
• Exemplos: Coloração de grafos, árvore geradora e árvore Steiner de grau
mínimo [28]
• Contra-exemplo: Knapsack.