Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar
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7. Árvores de busca, backtracking e branch-and-bound Prova. A recorrência satisfaz e logo obtemos e assim tn = i∈[k] αitn−di + c[0 ≤ n < d] G(z) = tnz n = αiz di G(z) + c G(z) = n i∈[k] c i∈[d−1] zi 1 − i∈[k] −c = di αiz − i∈[d−1] i∈[d−1] zi i∈[0,k] αiz di com α0 = −1 e d0 = 0. Logo o critérios do teorema 7.1 são satisfeitos. Mas os coeficientes ρl são as raízes do polinômio z d − α1z d−d1 − · · · − αkz d−dk e portanto, pelo teorema 7.1 obtemos assintoticamente para a maior raíz ρ com multiplicidade m tn = Θ(f(n)ρ n ) com f(n) um polinômio de grau m − 1. 176 z i
8. Algoritmos de aproximação 8.1. Introdução Problemas de otimização Definição 8.1 Um problema de otimização é uma relação binária P ⊆ I × S com instâncias x ∈ I e soluções y ∈ S, tal que (x, y) ∈ P e com • uma função de otimização (função de objetivo) ϕ : P → N (ou Q). • um objetivo: Encontrar mínimo ou máximo OPT(x) = opt{φ(x, y) | (x, y) ∈ P}. Tipo de problemas • Construção: Dado x, encontra solução ótima y e o valor ϕ ∗ (x). • Avaliação: Dado x, encontra valor ótimo OPT(x). • Decisão: Dado x, k ∈ N, decide se OPT(x) ≥ k (maximização) ou OPT(x) ≤ k (minimização). Convenção Escrevemos um problema de otimização na forma Nome Instância x Solução y Objetivo Minimiza ou maximiza φ(x, y). 177
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8. <strong>Algoritmos</strong> <strong>de</strong> aproximação<br />
8.1. Introdução<br />
Problemas <strong>de</strong> otimização<br />
Definição 8.1<br />
Um problema <strong>de</strong> otimização é uma relação binária P ⊆ I × S com instâncias<br />
x ∈ I e soluções y ∈ S, tal que (x, y) ∈ P e com<br />
• uma função <strong>de</strong> otimização (função <strong>de</strong> objetivo) ϕ : P → N (ou Q).<br />
• um objetivo: Encontrar mínimo ou máximo OPT(x) = opt{φ(x, y) |<br />
(x, y) ∈ P}.<br />
Tipo <strong>de</strong> problemas<br />
• Construção: Dado x, encontra solução ótima y e o valor ϕ ∗ (x).<br />
• Avaliação: Dado x, encontra valor ótimo OPT(x).<br />
• Decisão: Dado x, k ∈ N, <strong>de</strong>ci<strong>de</strong> se OPT(x) ≥ k (maximização) ou<br />
OPT(x) ≤ k (minimização).<br />
Convenção<br />
Escrevemos um problema <strong>de</strong> otimização na forma<br />
Nome<br />
Instância x<br />
Solução y<br />
Objetivo Minimiza ou maximiza φ(x, y).<br />
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